Теорема о декомпозиционном барьере

Теорема (о декомпозиционном барьере):

Существуют положительные вещественные числа [math]c_{1}[/math] и [math]c_{2}[/math], такие что для любых натуральных [math]V[/math] и [math]E[/math], удовлетворяющих неравенствам [math]c_{1}V \le E \le c_{2}V^2[/math], существует сеть [math]G[/math] с [math]V[/math] вершинами и [math]E[/math] ребрами. При этом для любого максимального потока [math]f[/math] в [math]G[/math], любая его остаточная декомпозиция должна содержать [math]\Omega (E)[/math] слагаемых (т.е. путей или циклов), причем каждый из путей (циклов) в декомпозиции должен иметь длину [math]\Omega (V)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пример для [math]V = 16[/math], в который надо добавить нужное количество ребер Используются [math]c_{1} = 1[/math] и [math]c_{2} = \frac{1}{9}[/math] ([math]V \le E \le \frac{V^2}{9}[/math]). Чтобы получить искомую сеть, строится сеть, изображенный на рисунке, после чего добавляются недостающие ребра (из [math]A[/math] в [math]B[/math]). Пропускные способности ребер из [math]A[/math] в [math]B[/math] равны [math]1[/math], остальных — [math]+\infty[/math] (или просто достаточно большое число, например, [math]V^2[/math]). Теперь докажем саму теорему: Максимальный поток по модулю равен потоку через разрез, который разделяет [math]A[/math] и [math]B[/math] (т.е. пересекает все ребра с пропускной способностью [math]1[/math]). Поток по каждому пути в декомпозиции не превышает 1, а значит, этих путей не меньше, чем ребер между [math]A[/math] и [math]B[/math], а их [math]\Omega (E)[/math]. По построению сети, любой путь из [math]s[/math] в [math]t[/math] содержит хотя бы [math](n-2[\frac{n-1}{3}]+1)[/math] ребер, что является [math]\Omega (V)[/math].

[math]\triangleleft[/math]