Теорема о декомпозиции

Теорема (о декомпозиции потока):

Любой поток [math]f[/math] транспортной сети [math]G = (V, E)[/math] можно представить в виде совокупности [math]O(E)[/math] путей из истока в сток и циклов. При этом все пути и циклы имеет положительный поток.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]s[/math] - исток, [math]t[/math] - сток потока [math]f[/math]. Если поток ненулевой, то из [math]s[/math] выходит хотя бы одно ребро с положительным потоком. Пойдем по этому ребру, попадем в вершину [math]v_1[/math]. Если [math]v_1[/math] совпадает с [math]s[/math], то найденный путь является путем из [math]s[/math] в [math]t[/math], иначе по закону сохранения потока для вершины [math]v_1[/math] из нее должно выходить хотя бы одно ребро с положительным потоком в некоторую вершину [math]v_2[/math]. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока [math]v_i[/math] не совпадет с [math]t[/math] (найден путь из [math]s[/math] в [math]t[/math]) либо с [math]v_j, j \lt i[/math] или [math]s[/math] (найден цикл). Данный путь (цикл) будет иметь положительный поток [math]f'[/math], равный минимальному среди потоков по всем ребрам пути (цикла). Уменьшая поток каждого ребра этого пути (цикла) на величину [math]f'[/math], получаем новый поток. Будем продолжать описанный алгоритм до тех пор, пока поток из [math]s[/math] не станет нулевым. Потребуем теперь, чтобы потоки из других вершин стали нулевыми. Для этого повторим поиск циклов вышеописанным способом для всех вершин. Итак, поскольку потоки по всем ребрам равны нулю, то мы получили искомую декомпозицию потока. Заметим, что после поиска пути (цикла) поток хотя бы по одному из ребер обнулится, следовательно, для полного представления потока потребуется не более [math]E[/math] таких операций.

[math]\triangleleft[/math]