Условная вероятность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 2: Строка 2:
 
|id = def1
 
|id = def1
 
|definition =
 
|definition =
'''Условной вероятность (conditional probability):''' Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>. Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число
+
'''Условная вероятность''' (англ. ''conditional probability''): Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>. Условной вероятностью события <tex>A</tex> при условии, что произошло событие <tex>B</tex>, называется число
 
<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex>A, B \subset \Omega</tex>.}}
 
<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex>A, B \subset \Omega</tex>.}}
 
== Замечания ==
 
== Замечания ==
Строка 13: Строка 13:
 
== Пример ==
 
== Пример ==
  
Пусть имеется 12 шариков, из которых 5 {{---}} чёрные, а 7 {{---}} белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от 1 до 5, а белые {{---}} от 6 до 12. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.
+
Пусть имеется <tex>12</tex> шариков, из которых <tex>5</tex> {{---}} чёрные, а <tex>7</tex> {{---}} белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от <tex>1</tex> до <tex>5</tex>, а белые {{---}} от <tex>6</tex> до <tex>12</tex>. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.
  
 
Обозначим за <tex>A</tex> событие "достали чёрный шар" и за <tex>B</tex> событие "достали шар с чётным номером". Тогда <tex>P(B) = \frac{1}{2}</tex>, т. к. ровно половина шариков имеют чётный номер, а <tex>P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}</tex>, т. к. только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.
 
Обозначим за <tex>A</tex> событие "достали чёрный шар" и за <tex>B</tex> событие "достали шар с чётным номером". Тогда <tex>P(B) = \frac{1}{2}</tex>, т. к. ровно половина шариков имеют чётный номер, а <tex>P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}</tex>, т. к. только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.

Версия 03:16, 1 июня 2017

Определение:
Условная вероятность (англ. conditional probability): Пусть задано вероятностное пространство [math](\Omega, P)[/math]. Условной вероятностью события [math]A[/math] при условии, что произошло событие [math]B[/math], называется число [math]{P}(A \mid B) = [/math] [math]\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}[/math], где [math]A, B \subset \Omega[/math].

Замечания

  • Если [math]{P}(B) = 0[/math], то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
  • Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
[math]{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)[/math].
  • Если события [math]A[/math] и [math]B[/math] независимые, то [math]{P}(A \mid B) = [/math] [math]\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = {P}(A)[/math]

Пример

Пусть имеется [math]12[/math] шариков, из которых [math]5[/math] — чёрные, а [math]7[/math] — белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от [math]1[/math] до [math]5[/math], а белые — от [math]6[/math] до [math]12[/math]. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.

Обозначим за [math]A[/math] событие "достали чёрный шар" и за [math]B[/math] событие "достали шар с чётным номером". Тогда [math]P(B) = \frac{1}{2}[/math], т. к. ровно половина шариков имеют чётный номер, а [math]P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}[/math], т. к. только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.

Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна [math]{P}(A \mid B) = \frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \frac{1}{3}[/math]

См. также

Источники