Интегрирование/дифференцирование производящих функций

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Определение:

Пусть [math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots[/math] - степенной ряд. Производная этого степенного ряда выражается формулой [math]A'(s) = a_1 + 2 a_2 s + 3 a_3 s^2 + \dots + n a_n s^{n-1} + \dots[/math] Интеграл этого степенного ряда выражается формулой [math]\int\limits A(s) = a_0 s + a_1 \dfrac{s^2}{2} + a_2 \dfrac{s^3}{3} + \dots + a_n \dfrac{s^{n+1} }{n + 1} + \dots[/math]

Операция дифференцирования обратна операции интегрирования:

[math](\int\limits A(s))' = A(s)[/math].

Операция же интегрирования производной приводит к функции с нулевым свободным членом, и поэтому результат, вообще говоря, отличается от исходной функции.

[math] \int\limits A'(s) = A(s) - A(0) [/math]

Замечание

Утверждение:

Для функций, представимых в виде степенных рядов, формула для производной соответствует обычной. Формула для интеграла соответствует значению интеграла с переменным верхним пределом [math] \int\limits A(s) = \int\limits_{0}^{s} A(\xi) d \xi [/math].

Радиусы сходимости

Теорема:

Ряд [math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots[/math] имеет тот же интервал сходимости, что и ряд [math]\int\limits A(s) = a_0 s + a_1 \dfrac{s^2}{2} + a_2 \dfrac{s^3}{3} + \dots + a_n \dfrac{s^{n+1} }{n + 1} + \dots[/math]

Теорема:

Ряд [math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots (1)[/math] имеет тот же интервал сходимости, что и ряд [math]A'(s) = a_1 + 2 a_2 s + 3 a_3 s^2 + \dots + n a_n s^{n-1} + \dots (2)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] x_0 [/math] - произвольная точка интервала сходимости ряда [math] (1) [/math], т.е. [math] |x_0| \lt R [/math]. Возьмем число [math] r [/math], удовлетворяющее условию [math] |x_0| \lt r \lt R [/math]. Оценим модуль общего члена ряда [math] (5) [/math] в рассматриваемой точке [math] x_0 [/math]. Имеем [math] |n a_n x_0^{n - 1}| \leqslant |a_n r^n| \dfrac{n |x_0|^{n-1}}{r^n} [/math] Ряд [math] (1) [/math] абсолютно сходится в точке [math] r [/math], т.е. сходится ряд [math] \sum\limits_{n = 0}^{\infty} |a_n| r^n [/math] и, следовательно, [math] \lim\limits_{n \to \infty} |a_n| r^n = 0 [/math]. Значит последовательность [math] \{|a_n| r^n\} [/math] ограничена, т.е. [math] |a_n| r^n \lt M [/math] при [math] n \in \mathbb{N} [/math], где [math] M \in \mathbb{R} [/math]. Учитывая это, находим [math] |n a_n x_0^{n - 1}| \leqslant M \dfrac{n |x_0|^{n - 1}}{r^n} [/math] Ряд [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n |x_0|^{n - 1}}{r^n} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_n [/math] сходится, так как [math] \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{b_{n + 1}}{b_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(n + 1)}{n} \dfrac{|x_0|}{r} = \dfrac{|x_0|}{r} \lt 1 [/math]. Используя теорему сравнения, получаем сходимость ряда [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} |n a_n x_0^{n - 1}| [/math] или, что то же, абсолютную сходимость ряда [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} n a_n x_0^{n - 1} [/math] в точке [math] x_0 [/math]. В силу произвольности выбора точки [math] x_0 [/math] из интервала [math] (-R, R) [/math], заключаем, что ряд [math] (2) [/math] имеет интервал сходимости не меньший интервала сходимости ряда [math] (1) [/math]. Докажем, что интервал сходимости ряда [math] (2) [/math] не больше интервала сходимости ряда [math] (1) [/math]. Допустим противное, а именно допустим, что ряд [math] (2) [/math] сходится в интервале [math] (-R_1, R_1) [/math], где [math] R_1 \gt R [/math]. Так как ряд [math] (2) [/math] степенной, его можно почленно интегрировать в пределах от [math] 0 [/math] до [math] x [/math], где [math] |x| \lt R_1 [/math]. Ряд, полученный в результате интегрирования, сходится в интервале [math] (-R_1, R_1) [/math]. Он отличается от ряда [math] (1) [/math] только на постоянное слагаемое. Следовательно, и ряд [math] (2) [/math] сходится в интервале [math] (-R_1, R_1) [/math], что противоречит допущению [math] R_1 \gt R [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Пример 1

Последнее замечание позволяет подсчитывать (т. е. выражать в терминах элементарных) производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Вычислим, например, производящую функцию

[math] f(s) = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} s + \dfrac{1}{3 \times 4} s^2 + \dots + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} s^n + \dots [/math]

Умножая функцию [math] f [/math] на [math] s^2 [/math] и дифференцируя, получаем

[math](s^2 f(s))' = s + \dfrac{1}{2} s^2 + \dfrac{1}{3} s^3 + \dots = \ln(1 - s)^{-1}[/math],

откуда

[math] f(s) = s^{-2} \int\limits \ln (1 - s)^{-1} = s^{-1} ((s - 1) \ln (1 - s)^{-1} + s) [/math].

Пример 2

Найдем представление в виде степенного ряда функции [math] \ln (1 + x), |x| \lt 1 [/math].

Воспользуемся разложением

[math] \dfrac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n x^n, |x| \lt 1 [/math]

Интегрируя этот ряд почленно на отрезке [math] [0, x] [/math], находим

[math] \ln (1 + x) = \int\limits_{0}^{x} \dfrac{dt}{1 + t} = \int\limits_{0}^{x} (1 - t + t^2 - t^3 + \dots)dt = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \dots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{n + 1}}{n + 1} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n + 1} x^n}{n} [/math]

Источники информации

• Ландо С. К., Лекции о производящих функциях. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2007. — 144с. ISBN 978-5-94057-042-4

• Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование (07.06.2017)

• Дифференцирование и интегрирование степенных рядов