Разрез, лемма о потоке через разрез

Определение разреза

Определение:

[math](s,t)[/math]-разрезом [math]\langle S,T\rangle[/math] в сети [math]G[/math] называется пара множеств [math]S,T[/math], удоволетворяющих условиям: 1) [math]s\in S, t\in T[/math] 2) [math]S\cup T=V[/math] 3) [math]S\cap T=\emptyset[/math]

Поток через разрез

Определение:

Пропускная способность разреза [math]\langle S,T\rangle[/math] обозначается [math]c(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]c(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)[/math].

Определение:

Поток в разрезе [math]\langle S,T\rangle[/math] обозначается [math]f(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)[/math].

Лемма:

Пусть [math]\langle S,T\rangle[/math] - разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)=|f|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f(S\setminus s,V)+f(s,V)=f(s,V)=|f|[/math] 1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются ([math]f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)[/math]); 2-е равенство выполняется из-за антисимметричности ([math]f(S,S)=-f(S,S)=0[/math]); 3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм; 4-е равенство выполняется из-за сохранения потока.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (закон слабой двойственности потока и разреза):

Пусть [math]\langle S,T\rangle[/math] - разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)\le c(S,T)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]{c(S,T)-f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)-\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)= \sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}(c(u,v)-f(u,v))\ge 0}[/math], из-за органичений пропускных способностей ([math]f(u,v)\le c(u,v)[/math]).

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Если [math]f(S,T)=c(S,T)[/math], то поток [math]f[/math] - максимален, а разрез [math]\langle S,T\rangle[/math] - минимален.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Из закона слабой двойственности следует, что [math]f(S_1,T_1)\le c(S_2,T_2)[/math] для любых двух разрезов [math]\langle S_1,T_1\rangle[/math] и [math]\langle S_2,T_2\rangle[/math] в сети [math]G[/math] (так как [math]f(S_1,T_1)=|f|=f(S_2,T_2)\le c(S_2,T_2)[/math]). Значит, если расположить все величины потоков и разрезов на оси OX, то у потоков с разрезами может быть максимум 1 точка пересечения. Потоки и разрезы Очевидно, что эта точка определяет максимальный поток среди всех потоков и минимальный разрез среди всех разрезов сети [math]G[/math].

[math]\triangleleft[/math]