Centroid decomposition — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 16: Строка 16:
 
}}
 
}}
 
Для начала решим обе задачи.  
 
Для начала решим обе задачи.  
−
Первая задача решается методом [[Сортировка_слиянием|«разделяй и властвуй»]] {{---}} давайте разделим массив <tex>a[0 \dots n-1]</tex> на 2 массива <tex>a[0\dots\dfac{n}{2} - 1]</tex> и <tex>a[\dfac{n}{2} \dots n-1]</tex> и рекурсивно решим задачу для каждого из них. Осталось научиться находить количество искомых пар <tex>(i, j)</tex>, таких что <tex>i < \dfac{n}{2}, j \geqslant \dfac{n}{2}</tex>. Для этого воспользуемся другой известной техникой {{---}} методом двух указателей. Посчитаем массив префиксных сумм для правой половины <tex>pref[i] = \sum_{j=\dfac{n}{2}}^{i} a_j</tex> и суффиксных (<tex>suf[i] = \sum_{j=i}^{\dfac{n}{2} + 1} a_j</tex>) {{---}} для левой. Заведем два указателя (<tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>). Изначально установим <tex>p_1 = \dfac{n}{2} - l + 1, p_2 = \dfac{n}{2}</tex>. Пока <tex>p_2 - 1> \dfac{n}{2}</tex> и
+
Первая задача решается методом [[Сортировка_слиянием|«разделяй и властвуй»]] {{---}} давайте разделим массив <tex>a[0 \dots n-1]</tex> на 2 массива <tex>a[0\dots\frac{n}{2} - 1]</tex> и <tex>a[\frac{n}{2} \dots n-1]</tex> и рекурсивно решим задачу для каждого из них. Осталось научиться находить количество искомых пар <tex>(i, j)</tex>, таких что <tex>i < \frac{n}{2}, j \geqslant \frac{n}{2}</tex>. Для этого воспользуемся другой известной техникой {{---}} методом двух указателей. Посчитаем массив префиксных сумм для правой половины <tex>pref[i] = \sum_{j=\frac{n}{2}}^{i} a_j</tex> и суффиксных (<tex>suf[i] = \sum_{j=i}^{\frac{n}{2} + 1} a_j</tex>) {{---}} для левой. Заведем два указателя (<tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>). Изначально установим <tex>p_1 = \frac{n}{2} - l + 1, p_2 = \frac{n}{2}</tex>. Пока <tex>p_2 - 1> \frac{n}{2}</tex> и
  
−
<tex>pref[p_2] + suf[p_1] > W </tex> будем уменьшать <math>p_2</math> на <math>1</math>. Если после этого <math>pref[p_2] + suf[p_1] \leqslant W</math>, то к ответу прибавим <math>(p_2 - \dfac{n}{2} + 1) * (\dfac{n}{2} - p_1)</math>, посго, увеличим <math>p_1</math> на <math/math>. Так будем делать, пока <math>p_1 < \dfac{n}{2}</math>. В конце сложим текущий ответ и ответы для половин массива {{---}} получим ответ на задачу. Асимптотика такого алгоритма: <tex>T(n) = 2 * T(n / 2) + O(n) = O(n)</tex>
+
<tex>pref[p_2] + suf[p_1] > W </tex> будем уменьшать <math>p_2</math> на <math>1</math>. Если после этого <math>pref[p_2] + suf[p_1] \leqslant W</math>, то к ответу прибавим <math>(p_2 - \frac{n}{2} + 1) * (\frac{n}{2} - p_1)</math>, посго, увеличим <math>p_1</math> на <math/math>. Так будем делать, пока <math>p_1 < \frac{n}{2}</math>. В конце сложим текущий ответ и ответы для половин массива {{---}} получим ответ на задачу. Асимптотика такого алгоритма: <tex>T(n) = 2 * T(n / 2) + O(n) = O(n)</tex>
  
 
Вторая задача имеет запросы на изменение и поэтому надо применить динамическую версию «разделяй и властвуй» {{---}} [[Дерево_отрезков._Построение|дерево отрезков]]. Построим дерево отрезков,
 
Вторая задача имеет запросы на изменение и поэтому надо применить динамическую версию «разделяй и властвуй» {{---}} [[Дерево_отрезков._Построение|дерево отрезков]]. Построим дерево отрезков,
Строка 37: Строка 37:
 
|id=191213
 
|id=191213
 
|definition =
 
|definition =
−
'''Центроидом дерева''' (англ. ''centroid'') называется такая вершина <math>v</math> дерева <math>t</math>, после удаления которой дерево разбивается на несколько (<math>k</math>) поддеревьев <tex>t_1, t_2,\dots, t_k</tex>, таких что для каждого <math>i</math>: <tex>|t_i| \leqslant \dfac{n}{2}</tex>, т.е. размер каждого поддерева не превосходит половины размера исходного дерева.
+
'''Центроидом дерева''' (англ. ''centroid'') называется такая вершина <math>v</math> дерева <math>t</math>, после удаления которой дерево разбивается на несколько (<math>k</math>) поддеревьев <tex>t_1, t_2,\dots, t_k</tex>, таких что для каждого <math>i</math>: <tex>|t_i| \leqslant \frac{n}{2}</tex>, т.е. размер каждого поддерева не превосходит половины размера исходного дерева.
 
}}
 
}}
 
Итак, в случае дерева идея разделяй-и-властвуй из предыдущего пункта будет формулироваться так: найдем центроид. Предположим, что мы сумели найти центроид за <math>O(n)</math>, где <math>n</math> {{---}} размер дерева. Тогда, как и в упрощенной версии задачи {{---}} рекурсивно найдем ответ для всех поддеревьев <tex>t_1, t_2,\dots, t_k</tex>, после чего попытаемся найти недостающие пары вершин, находящиехя в разных поддеревьях и удовлетворяющих вопросу задачи. Для этого будем отвечать на следующие запросы: пусть мы сейчас считаем все пары, где первая из вершин находится в поддереве <math>t_i</math> и мы в некоторой структуре данных <math>S</math> храним все вершины остальных деревьев (каждую вершину задаем парой <math>(depth(v), length(v))</math> {{---}} глубина вершины и длина пути до нее из корня поддерева), расстояние до которых от корня их поддерева не превышает <math>min(l, n)</math>. Тогда просто пройдемся по всем вершинам <math>u</math> поддерева <math>t_i</math> и прибавим к ответу число вершин в структуре <math>S</math>, таких, что <tex>depth(u) \leqslant l - depth(v)</tex> и <tex>length(u) \leqslant l - length(v)</tex>. Это двумерные запросы, на которые можно отвечать за <math>O(log^2(n)</math> с помощью [[Многомерное_дерево_отрезков|2d-дерева отрезков]], либо за <math>O(log(n))</math> с помощью [[Перечисление_точек_в_произвольном_прямоугольнике_за_n_*_log_%5E(d_-_1)_n_(range_tree)|техники поиска точек в d-мерном пространстве]]. Также читателю предлагается придумать и более эффективные и простые способы решить эту подзадачу.
 
Итак, в случае дерева идея разделяй-и-властвуй из предыдущего пункта будет формулироваться так: найдем центроид. Предположим, что мы сумели найти центроид за <math>O(n)</math>, где <math>n</math> {{---}} размер дерева. Тогда, как и в упрощенной версии задачи {{---}} рекурсивно найдем ответ для всех поддеревьев <tex>t_1, t_2,\dots, t_k</tex>, после чего попытаемся найти недостающие пары вершин, находящиехя в разных поддеревьях и удовлетворяющих вопросу задачи. Для этого будем отвечать на следующие запросы: пусть мы сейчас считаем все пары, где первая из вершин находится в поддереве <math>t_i</math> и мы в некоторой структуре данных <math>S</math> храним все вершины остальных деревьев (каждую вершину задаем парой <math>(depth(v), length(v))</math> {{---}} глубина вершины и длина пути до нее из корня поддерева), расстояние до которых от корня их поддерева не превышает <math>min(l, n)</math>. Тогда просто пройдемся по всем вершинам <math>u</math> поддерева <math>t_i</math> и прибавим к ответу число вершин в структуре <math>S</math>, таких, что <tex>depth(u) \leqslant l - depth(v)</tex> и <tex>length(u) \leqslant l - length(v)</tex>. Это двумерные запросы, на которые можно отвечать за <math>O(log^2(n)</math> с помощью [[Многомерное_дерево_отрезков|2d-дерева отрезков]], либо за <math>O(log(n))</math> с помощью [[Перечисление_точек_в_произвольном_прямоугольнике_за_n_*_log_%5E(d_-_1)_n_(range_tree)|техники поиска точек в d-мерном пространстве]]. Также читателю предлагается придумать и более эффективные и простые способы решить эту подзадачу.
Строка 50: Строка 50:
 
В любом дереве <math>t</math> существует центроид.
 
В любом дереве <math>t</math> существует центроид.
 
|proof=
 
|proof=
−
Рассмотрим корень дерева <math>(r)</math>. Положим изначально <math>v = r</math>. Изначально <math>|subtree(v)| = n</math>. Среди всех детей <math>v</math> выберем вершину <math>u</math> с максимальным размером поддерева. Если <math>v</math> {{---}} не центроид, то положим <math>v = u</math> и продолжим выбор нового u, иначе {{---}} остановимся. Докажем, что мы в какой-то момент остановимся. Пусть в призвольный момент времени <math>v</math> {{---}} не центроид и размер её наддерева меньше <math>\dfac{n}{2}</math>, значит максимальное поддерево имеет размер больше чем <math>\dfac{n}{2}</math>, т.е. <math>|subtree(u)| > \dfac{n}{2}</math>, а значит размер "наддерева" вершины <math>u</math> равен <tex>n - |subtree(u)| < \dfac{n}{2}</tex>. При этом теперь размер любого поддерева, на которое распадется дерево t при удалении вершины <math>u</math> не превосходит <math>|subtree(u)| - 1</math>, т.к. наддерево имеет размер меньше, чем поддерево <math>u</math>, а любое поддерево вершины <math>u</math> имеет хотя бы на <math>1</math> вершину меньше (сама вершина <math>u</math>). По индукции получаем, что в любой момент времени размер наддерева вершины v меньше <math>\dfac{n}{2}</math>, значит мы будем спускаться только вниз по дереву <math>t</math>, и при переходе к вершине <math>u</math> {{---}} сыну <math>v</math> размер максимального поддерева уменьшится как минимум на <math>1</math>. Значит не более чем за <math>n</math> шагов наши действия прекратятся и мы окажемся в центроиде дерева <math>t</math>, ч.т.д.
+
Рассмотрим корень дерева <math>(r)</math>. Положим изначально <math>v = r</math>. Изначально <math>|subtree(v)| = n</math>. Среди всех детей <math>v</math> выберем вершину <math>u</math> с максимальным размером поддерева. Если <math>v</math> {{---}} не центроид, то положим <math>v = u</math> и продолжим выбор нового u, иначе {{---}} остановимся. Докажем, что мы в какой-то момент остановимся. Пусть в призвольный момент времени <math>v</math> {{---}} не центроид и размер её наддерева меньше <math>\frac{n}{2}</math>, значит максимальное поддерево имеет размер больше чем <math>\frac{n}{2}</math>, т.е. <math>|subtree(u)| > \frac{n}{2}</math>, а значит размер "наддерева" вершины <math>u</math> равен <tex>n - |subtree(u)| < \frac{n}{2}</tex>. При этом теперь размер любого поддерева, на которое распадется дерево t при удалении вершины <math>u</math> не превосходит <math>|subtree(u)| - 1</math>, т.к. наддерево имеет размер меньше, чем поддерево <math>u</math>, а любое поддерево вершины <math>u</math> имеет хотя бы на <math>1</math> вершину меньше (сама вершина <math>u</math>). По индукции получаем, что в любой момент времени размер наддерева вершины v меньше <math>\frac{n}{2}</math>, значит мы будем спускаться только вниз по дереву <math>t</math>, и при переходе к вершине <math>u</math> {{---}} сыну <math>v</math> размер максимального поддерева уменьшится как минимум на <math>1</math>. Значит не более чем за <math>n</math> шагов наши действия прекратятся и мы окажемся в центроиде дерева <math>t</math>, ч.т.д.
 
Итак, мы конструктивно доказали существование центроида и привели линейный относительно размера дерева алгоритм его нахождения.  
 
Итак, мы конструктивно доказали существование центроида и привели линейный относительно размера дерева алгоритм его нахождения.  
 
}}
 
}}
Строка 100: Строка 100:
 
# Простой путь между любой парой вершин <math>u, v</math> в дереве <math>t</math> содержит центроид <tex>c \in T(t)</tex>, такой что <tex>u, v \in T(c)</tex>.
 
# Простой путь между любой парой вершин <math>u, v</math> в дереве <math>t</math> содержит центроид <tex>c \in T(t)</tex>, такой что <tex>u, v \in T(c)</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
−
# Действительно, т.к. размер поддерева <math>s</math> каждой вершины <math>c</math> дереве <math>T</math> не превосходит <tex>\dfac{|subtree(c)|}{2}</tex>, то при спуске в каждую следующую вершину на пути к любому листу в дереве <math>T</math> размер поддерева вершины, в которой мы сейчас находимся, уменьшается как минимум на <math>2</math>. Значит длина всего пути до листа не превосходит <math>log(n)</math>, ч.т.д.
+
# Действительно, т.к. размер поддерева <math>s</math> каждой вершины <math>c</math> дереве <math>T</math> не превосходит <tex>\frac{|subtree(c)|}{2}</tex>, то при спуске в каждую следующую вершину на пути к любому листу в дереве <math>T</math> размер поддерева вершины, в которой мы сейчас находимся, уменьшается как минимум на <math>2</math>. Значит длина всего пути до листа не превосходит <math>log(n)</math>, ч.т.д.
 
# Второе свойство очевидно из построения дерева <math>T</math>, т.к. если вершина принадлежит дереву центроидов <math>T</math>, то она является центроидом, а из построения <math>T</math> мы знаем, что каждая вершина исходного дерева принадлежит и дереву <math>T</math>.
 
# Второе свойство очевидно из построения дерева <math>T</math>, т.к. если вершина принадлежит дереву центроидов <math>T</math>, то она является центроидом, а из построения <math>T</math> мы знаем, что каждая вершина исходного дерева принадлежит и дереву <math>T</math>.
 
# Третье свойство {{---}} прямое следствие первых двух, т.к. вершина принадлежит любому центроиду <math>c</math> т.и т.т., когда c {{---}} отец вершины <math>v</math> в дереве центроидов. Т.к. вершина <math>v</math> точно принадлежит дереву <math>T</math> (свойство 2), то она лежит на каком-то пути в дереве <math>T</math>, причем все ее родители (центроиды) ее содержат. А по свойству 1 длина любого вертикального (и даже простого) пути есть <math>O(log(n))</math>, ч.т.д.
 
# Третье свойство {{---}} прямое следствие первых двух, т.к. вершина принадлежит любому центроиду <math>c</math> т.и т.т., когда c {{---}} отец вершины <math>v</math> в дереве центроидов. Т.к. вершина <math>v</math> точно принадлежит дереву <math>T</math> (свойство 2), то она лежит на каком-то пути в дереве <math>T</math>, причем все ее родители (центроиды) ее содержат. А по свойству 1 длина любого вертикального (и даже простого) пути есть <math>O(log(n))</math>, ч.т.д.

Версия 01:24, 15 июня 2017

Centroid decomposition (рус. центроидная декомпозиция) — это структура данных, позволяющая отвечать на запросы на дереве. Чаще всего это запросы, связанные с нахождением функции на вершинах, связанных неравенством на расстояние между ними в дереве. Также иногда применяется для запросов на путях в дереве.

Введение

Рассмотрим [math]2[/math] задачи на обычном массиве (в дальнейшем мы будем их обобщать на случай дерева):

Задача [math]1[/math]

Задача:
Есть массив [math]a[/math] положительных целых чисел из [math]n[/math] элементов. Также дано число [math]W \geqslant 0[/math] и число [math]l[/math]. Требуется найти количество пар [math](i, j)[/math] индексов массива, таких что [math]|j - i| \leqslant l [/math] и [math]\sum_{k=i}^{j} a_k \leqslant W[/math].

Задача [math]2[/math]:

Задача:
Есть прямая дорога, на которой расположены [math]n[/math] городов. В некоторых городах есть госпитали, которые могут принимать больных. Поступают запросы вида:
  • дан город [math]v[/math], в котором находится больной и требуется найти такой город [math]u[/math], что [math]u[/math] может принимать больных и [math]|u - v|[/math] минимально возможное.
  • дан город [math]v[/math] и сказано, что больше он не будет принимать больных
  • дан город [math]v[/math] и сказано, что теперь он может принимать больных

Для начала решим обе задачи. Первая задача решается методом «разделяй и властвуй» — давайте разделим массив [math]a[0 \dots n-1][/math] на 2 массива [math]a[0\dots\frac{n}{2} - 1][/math] и [math]a[\frac{n}{2} \dots n-1][/math] и рекурсивно решим задачу для каждого из них. Осталось научиться находить количество искомых пар [math](i, j)[/math], таких что [math]i \lt \frac{n}{2}, j \geqslant \frac{n}{2}[/math]. Для этого воспользуемся другой известной техникой — методом двух указателей. Посчитаем массив префиксных сумм для правой половины [math]pref[i] = \sum_{j=\frac{n}{2}}^{i} a_j[/math] и суффиксных ([math]suf[i] = \sum_{j=i}^{\frac{n}{2} + 1} a_j[/math]) — для левой. Заведем два указателя ([math]p_1[/math] и [math]p_2[/math]). Изначально установим [math]p_1 = \frac{n}{2} - l + 1, p_2 = \frac{n}{2}[/math]. Пока [math]p_2 - 1\gt \frac{n}{2}[/math] и

[math]pref[p_2] + suf[p_1] \gt W [/math] будем уменьшать [math]p_2[/math] на [math]1[/math]. Если после этого [math]pref[p_2] + suf[p_1] \leqslant W[/math], то к ответу прибавим [math](p_2 - \frac{n}{2} + 1) * (\frac{n}{2} - p_1)[/math], посго, увеличим [math]p_1[/math] на <math/math>. Так будем делать, пока [math]p_1 \lt \frac{n}{2}[/math]. В конце сложим текущий ответ и ответы для половин массива — получим ответ на задачу. Асимптотика такого алгоритма: [math]T(n) = 2 * T(n / 2) + O(n) = O(n)[/math]

Вторая задача имеет запросы на изменение и поэтому надо применить динамическую версию «разделяй и властвуй» — дерево отрезков. Построим дерево отрезков, поддерживающее 2 вида запросов: присвоение в точке и минимум на отрезке. Изначально сделаем так, чтобы дереву отрезков соответствовал массив [math]b[/math], такой что [math]b_i = 0[/math], если в i-м городе принимает госпиталь и [math]b_i = 1[/math] иначе. Когда в каком-то городе открывается/закрывается госпиталь — делаем запрос на изменение в дереве отрезков. Когда требуется узнать ближайщий госпиталь к [math]i[/math]-му городу, можно воспользоваться одной из следующих идей: а) ([math]O(n \cdot log^2(n)[/math]) Бинарным поиском ищем ближайший слева и ближайший справа к i-му городу госпиталь (такой город [math]j[/math], что [math]\min\limits_{k=i..j}b_k= 1[/math]). Для этого внутри бинарного поиска каждый раз делаем запрос на поиск минимума в дереве отрезков. б) ([math]O(n \cdot log(n)[/math]) Будем одним спуском/подъемом по дереву определять, куда нам нужно идти (в левое или правое поддерево), тем самым делая одновоременно и бинарный поиск, и спуск/подъем по дереву.

Статическая центроидная декомпозиция

Перейдем к обобщению поставленных задач на случай дерева. Начнем, как и полагается, с первой:

Задача:
Есть взвешенное дерево [math]t[/math] из [math]n[/math] вершин, в каждой вершине которого написаны положительные целые числа. Также по-прежнему даны числа [math]W \geqslant 0[/math] и [math]l[/math]. Требуется найти количество пар [math](i, j)[/math] вершин дерева, таких что расстояние между ними не превосходит [math]l[/math] по числу ребер и не превосходит [math]W[/math] по сумме весов.

(Задача D со сборов СПБ к РОИ-2016[1])

Для решения новой задачи применим ту же идею, что и была до этого — разделяй и властвуй. Для этого нам потребуется следующий объект:


Определение:
Центроидом дерева (англ. centroid) называется такая вершина [math]v[/math] дерева [math]t[/math], после удаления которой дерево разбивается на несколько ([math]k[/math]) поддеревьев [math]t_1, t_2,\dots, t_k[/math], таких что для каждого [math]i[/math]: [math]|t_i| \leqslant \frac{n}{2}[/math], т.е. размер каждого поддерева не превосходит половины размера исходного дерева.

Итак, в случае дерева идея разделяй-и-властвуй из предыдущего пункта будет формулироваться так: найдем центроид. Предположим, что мы сумели найти центроид за [math]O(n)[/math], где [math]n[/math] — размер дерева. Тогда, как и в упрощенной версии задачи — рекурсивно найдем ответ для всех поддеревьев [math]t_1, t_2,\dots, t_k[/math], после чего попытаемся найти недостающие пары вершин, находящиехя в разных поддеревьях и удовлетворяющих вопросу задачи. Для этого будем отвечать на следующие запросы: пусть мы сейчас считаем все пары, где первая из вершин находится в поддереве [math]t_i[/math] и мы в некоторой структуре данных [math]S[/math] храним все вершины остальных деревьев (каждую вершину задаем парой [math](depth(v), length(v))[/math] — глубина вершины и длина пути до нее из корня поддерева), расстояние до которых от корня их поддерева не превышает [math]min(l, n)[/math]. Тогда просто пройдемся по всем вершинам [math]u[/math] поддерева [math]t_i[/math] и прибавим к ответу число вершин в структуре [math]S[/math], таких, что [math]depth(u) \leqslant l - depth(v)[/math] и [math]length(u) \leqslant l - length(v)[/math]. Это двумерные запросы, на которые можно отвечать за [math]O(log^2(n)[/math] с помощью 2d-дерева отрезков, либо за [math]O(log(n))[/math] с помощью техники поиска точек в d-мерном пространстве. Также читателю предлагается придумать и более эффективные и простые способы решить эту подзадачу.

Оценим итоговую асимптотику: [math]T(n) = k * T(n / k) + O(n \cdot log(n))[/math]. Решая это рекурентное соотношение, получим [math]O(n \cdot log(n))[/math].

Теперь докажем лемму о существовании центроида и опишем алгоритм его эффективного поиска.

Лемма о существовании центроида и алгоритм его нахождения.

Лемма:
В любом дереве [math]t[/math] существует центроид.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим корень дерева [math](r)[/math]. Положим изначально [math]v = r[/math]. Изначально [math]|subtree(v)| = n[/math]. Среди всех детей [math]v[/math] выберем вершину [math]u[/math] с максимальным размером поддерева. Если [math]v[/math] — не центроид, то положим [math]v = u[/math] и продолжим выбор нового u, иначе — остановимся. Докажем, что мы в какой-то момент остановимся. Пусть в призвольный момент времени [math]v[/math] — не центроид и размер её наддерева меньше [math]\frac{n}{2}[/math], значит максимальное поддерево имеет размер больше чем [math]\frac{n}{2}[/math], т.е. [math]|subtree(u)| \gt \frac{n}{2}[/math], а значит размер "наддерева" вершины [math]u[/math] равен [math]n - |subtree(u)| \lt \frac{n}{2}[/math]. При этом теперь размер любого поддерева, на которое распадется дерево t при удалении вершины [math]u[/math] не превосходит [math]|subtree(u)| - 1[/math], т.к. наддерево имеет размер меньше, чем поддерево [math]u[/math], а любое поддерево вершины [math]u[/math] имеет хотя бы на [math]1[/math] вершину меньше (сама вершина [math]u[/math]). По индукции получаем, что в любой момент времени размер наддерева вершины v меньше [math]\frac{n}{2}[/math], значит мы будем спускаться только вниз по дереву [math]t[/math], и при переходе к вершине [math]u[/math] — сыну [math]v[/math] размер максимального поддерева уменьшится как минимум на [math]1[/math]. Значит не более чем за [math]n[/math] шагов наши действия прекратятся и мы окажемся в центроиде дерева [math]t[/math], ч.т.д.

Итак, мы конструктивно доказали существование центроида и привели линейный относительно размера дерева алгоритм его нахождения.
[math]\triangleleft[/math]

Реализация

Поиск центроида в дереве: 

 int [math]\mathtt{findCentroid}[/math](int[] children[n], int v, int sz[n])
    max_subtree = -1
    for u : children(v)
         if sz[u] > sz[v] / 2 and sz[u] > sz[max_subtree] // считаем sz[-1] = 0 
              max_subtree = u
    if max_subtree == -1
         return v
    else 
         return [math]\mathtt{findCentroid}[/math](children, max_subtree, sz)

Шаблон решения произвольной задачи на статическую центроидную декомпозицию: 

 [math]\mathtt{solve}[/math](int[] children[n], int v, int sz[n])
    c = [math]\mathtt{findCentroid}[/math](children, max_subtree, sz) // находим c — центроид поддерева вершины v 
    ch = children[c]
    [math]\mathtt{deleteEdges}[/math](c, children) // удаляем все ребра между вершиной с и детьми, чтобы мы не смогли из детей попасть в с. 
        Это полезно делать, если решение подзадачи для поддерева предполагает проход dfs 
    for c2 : ch[c]
         [math]\mathtt{solve}[/math](children, c2, sz)
    [math]\mathtt{mergeSolution}[/math](children, c2) // решаем для текущего поддерева

Динамическая центроидная декомпозиция (дерево центроидной декомпозиции)

Теперь вернемся ко второй задаче введения. Для ее решения мы пользовались динамичекой версией «разделяй и властвуй» — деревом отрезков. В предыдущем пункте мы определили статический аналог «разделяй и властвуй» для дерева. Теперь обобщим этот метод для динамических задач.

Определение:
Деревом центроидов (или центроидной декомпозицией) дерева [math]t[/math] называют дерево [math]T(t)[/math], построенное на вершинах дерева [math]t[/math] следующим образом:
  • Пусть вершина [math]c[/math] — центроид дерева [math]t[/math]. Объявим его корнем нового дерева [math]T[/math].
  • Пусть при удалении вершины [math]c[/math] из дерева [math]t[/math] оно распалось на поддеревья [math]t_1, t_2,\dots, t_k[/math], тогда детьми вершины c объявим [math]T(t_1), T(t_t),\dots, T(t_k)[/math].

Свойства центроидной декомпозиции

Лемма:
Свойства центроидной декомпозиции:
  1. Глубина дерева центроидов не превосходит [math]log(n)[/math].
  2. Каждая вершина [math]v[/math] дерева [math]t[/math] является центроидом одного из поддеревьев дерева [math]t[/math]
  3. Каждая вершина дерева [math]t[/math] принадлежит [math]O(log(n))[/math] поддеревьям дерева [math]T[/math] (еще говорят, что вершина принадлежит [math]O(log(n))[/math] центроидам дерева [math]t[/math], или что эти центроиды содержат вершину)
  4. Для любых вершин [math]u, v \in T (u \neq v)[/math] верно ровно одно из следующих трех утверждений:
    1. [math]T(v) \subset T(u)[/math]
    2. [math]T(u) \subset T(v)[/math]
    3. [math]T(u) \cap T(v) = \emptyset [/math]
  5. Простой путь между любой парой вершин [math]u, v[/math] в дереве [math]t[/math] содержит центроид [math]c \in T(t)[/math], такой что [math]u, v \in T(c)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Действительно, т.к. размер поддерева [math]s[/math] каждой вершины [math]c[/math] дереве [math]T[/math] не превосходит [math]\frac{|subtree(c)|}{2}[/math], то при спуске в каждую следующую вершину на пути к любому листу в дереве [math]T[/math] размер поддерева вершины, в которой мы сейчас находимся, уменьшается как минимум на [math]2[/math]. Значит длина всего пути до листа не превосходит [math]log(n)[/math], ч.т.д.
  2. Второе свойство очевидно из построения дерева [math]T[/math], т.к. если вершина принадлежит дереву центроидов [math]T[/math], то она является центроидом, а из построения [math]T[/math] мы знаем, что каждая вершина исходного дерева принадлежит и дереву [math]T[/math].
  3. Третье свойство — прямое следствие первых двух, т.к. вершина принадлежит любому центроиду [math]c[/math] т.и т.т., когда c — отец вершины [math]v[/math] в дереве центроидов. Т.к. вершина [math]v[/math] точно принадлежит дереву [math]T[/math] (свойство 2), то она лежит на каком-то пути в дереве [math]T[/math], причем все ее родители (центроиды) ее содержат. А по свойству 1 длина любого вертикального (и даже простого) пути есть [math]O(log(n))[/math], ч.т.д.
  4. Четвертое свойство очевидно из того, что [math]T[/math] — дерево. Т.к. [math]T(u)[/math] и [math]T(v)[/math] — поддеревья различных вершин дерева [math]T[/math], то либо они не пересекаются, либо [math]u[/math] — предок [math]v[/math], и значит [math]T(v) \subset T(u)[/math], либо [math]v[/math] — предок [math]u[/math], и значит [math]T(u) \subset T(v)[/math].
  5. Для доказательства последнего свойства выберем в качестве вершины [math]c[/math] [math]lca(u, v)[/math] в дереве центроидов [math]T[/math]. Покажем, что так выбранная вершина [math]c[/math] удовлетворяет заявленным свойствам. То, что [math]u, v \in T(c)[/math] — очевидно по определению [math]lca[/math], т.к. каждый предок любой вершины в дереве центроидов содержит эту вершину. Теперь докажем, что [math]c[/math] лежит на пути между парой вершин [math]u, v[/math]. Т.к. [math]c = lca(u, v)[/math] в [math]T[/math], то из [math]c[/math] нет ребра в такого сына, который содержит одновременно [math]u[/math] и [math]v[/math] в своем поддереве (в дереве [math]T[/math]), значит после удаления [math]c[/math] дерево [math]t[/math] разделится на несколько поддеревьев, таких что вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] окажутся в разных компонентах связности. А значит найдется такое ребро [math](c, x)[/math], которое принадлежало пути из [math]u[/math] в [math]v[/math], но после удаления [math]c[/math] удалилось. Это доказывает то, что вершина [math]c[/math] лежала на пути из [math]u[/math] в [math]v[/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]

С помощью описанных свойств дерева [math]T[/math] мы можем решить задачу 2 для дерева:

Пример решения задачи с помощью центроидной декомпозиции

Задача:
Есть дерево [math]t[/math] из [math]n[/math] вершин. В каждый момент времени любая вершина дерева может быть либо помечена, либо нет. Изначально помечена только вершина номер [math]0[/math]. Дан список из [math]m[/math] запросов:
  • Вершину [math]v[/math] пометили.
  • С вершины [math]v[/math] сняли пометку.
  • Найти номер ближайшей к [math]v[/math] помеченной вершины.

(Задача C со сборов СПБ к РОИ-2016[2])

Решение:

Построим центроидную декомпозицию [math]T[/math] дерева [math]t[/math]. Изначально посчитаем для каждого центроида, содержащего вершину [math]0[/math] посчитаем расстояние до вершины [math]0[/math]. Для этого воспользуемся методом двоичных подъемов для поиска lca пары вершин в дереве, а также тем фактом, что если глубина [math]h(v)[/math] вершины [math]v[/math] в дереве определена как расстояние от корня до вершины [math]v[/math], то длина пути между парой вершин [math](u, v)[/math] есть [math]len(u, v) = h(u) + h(v) - 2 \cdot h(lca(u, v))[/math]. Если изначально предпосчитать проходом dfs величины [math]h(v)[/math] за [math]O(n)[/math], то ответ на запрос [math]len(u, v)[/math] можно делать за время [math]O(log(n))[/math] с [math]O(n \cdot log(n))[/math]доп. памятью. Также можно воспользоваться техникой сведения задачи LCA к RMQ и решить с [math]O(n)[/math] дополнительной памятью и [math]O(1)[/math] времени на запрос. Теперь научимся отвечать на запросы. Из последнего свойства центроидной декомпозиции видно, что если [math]u[/math] — искомая ближайшая помеченная вершина к [math]v[/math], то путь между ними содержит центроид [math]c[/math], такой что [math]u, v \in T(c)[/math], причем [math]c[/math] — предок одновременно вершин [math]u, v[/math] в дереве[math]T[/math]. Поэтому заведем двоичное дерево поиска для каждого центроида [math]c \in T[/math]. В этой структуре для каждой вершины [math]c[/math] будем хранить пары [math](len(c, u), u)[/math] для всех помеченных вершин [math]u[/math] в поддереве центроидов [math]T(c)[/math]. Когда приходит запрос пометить вершину [math]v[/math] — добавим в структуру данных для всех предков [math]p_c[/math] вершины [math]v[/math] в дереве [math]T[/math] пары [math](len(p_c, v), v)[/math]. Мы совершим [math]O(log(n))[/math] добавлений, затратив [math]O(log(n))[/math] действий на каждое. Запрос снятия пометки с вершины обрабатывается аналогичными удалениями. Запрос поиска ближайшей к [math]v[/math] помеченной вершины — это запрос поиска вершины u, такой что величина [math]len(c, u) + len(c, v)[/math] минимальна, где [math]c[/math] — предок [math]v[/math] в дереве центроидов (по пятому свойству, нас интересуют именно такие [math]c[/math]). Этот запрос занимает так же [math]O(log^2(n))[/math] времени.

Итак, мы научились решать задачу с [math]O(n)[/math] дополнительной памятью и временной сложностью [math]O(log^2(n))[/math] на запрос любого типа с предварительным предпосчетом за [math]O(n)[/math].

Варианты хранения центроидной декомпозиции

Для хранения дерева центроидов [math]T[/math] есть [math]2[/math] подхода, имеющих свои преимущества и недостатки:

  • Для каждой вершины [math]v[/math] исходного дерева запомним величину [math]p_v[/math] — номер предка вершины [math]v[/math] в дереве [math]T[/math].

Этот подход наиболее экономный по памяти ([math]O(n)[/math]), но уступает в скорости и функциональности.

  • Для каждой вершины [math]v[/math] исходного дерева будем хранить весь массив предков [math]p[v][/math] в дереве центроидов.

Этот подход уступает в количестве необходимой дополнительной памяти ([math]O(n \cdot log(n))[/math] суммарно), но имеет ряд преимуществ:

  1. При проходе по массиву предков фиксированной вершины будет выигрыш в скорости работы, т.к. весь массив будет лежать непрерывным блоком данных и следовательно будет закэширован
  2. На массиве предков можно строить различные структуры данных (такие как, например, дерево отрезков) для быстрого (в случае с деревом отрезков [math]O(log(log(n)))[/math] на запрос) поиска предка с необходимыми свойствами. Так, например, в описанной выше задаче про помеченные вершины наибольшего общего предка можно искать методом двоичных подъемов за [math]O(log(log(n))[/math] на запрос, т.к. размер массива предков есть [math]O(log(n))[/math] (по свойству 1 центроидной декомпозиции). Используя эту оптимизацию можно получить время [math]O(log(n)) + O(log(log(n)) = O(log(n))[/math] на запрос нахождения ближайшей помеченной вершины. Чтобы добиться улучшенной асимптотики для запросов изменения можно хранить дерево отрезков на каждом из путей [math]p[v][/math], в каждой вершине которого хранить двоичное дерево поиска и поддерживать отложенные операции. Тогда ответ на эти запросы будет занимать [math]O(log(n) \cdot log(log(n))[/math] времени.

См. также

  • ↑ Сайт с задачами Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016
  • ↑ Сайт с задачами Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016
    • Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Centroid_decomposition&oldid=61639»