Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда для любого ребра, не принадлежащего остову, цикл, образуемый этим ребром при добавлении к остову, не содержит рёбер тяжелее этого ребра.
|proof=
<tex> \Rightarrow </tex>
Легко заметить, что Пусть нам дано минимальное остовное дерево, не удовлетворяющее условию, не минимально. Если для какого-то ребра оказалось, что оно легче некоторых рёбер образуемого цикла, то можно получить остов с меньшим весом, добавив это ребро в остов, и удалив самое тяжелое ребро из цикла. Если же это условие не выполнилось ни для одного ребра, то вес остова при добавлении не изменится. Рассмотрим общий алгоритм построения минимального остовного дерева <tex> A </tex>, но сначала, ознакомившись с определением [[Лемма о безопасном ребре|безопасного ребра]]которое получилось в результате общего алгоритма построения MST.
'''function''' Generic MST(<tex> G </tex>):
<tex> A = \{ \} </tex>
'''while''' <tex> A </tex> не является остовом
'''do''' найти безопасное ребро <tex> ( u, v ) \in E </tex> для <tex> A </tex> <font color = darkgreen>// нужное ребро находится с помощью "Леммы [[Лемма о безопасном ребре" |леммы о безопасном ребре]] </font color = darkgreen>
<tex> A = A \cup \{( u, v )\} </tex>
'''return''' <tex> A </tex>
В результате алгоритма получится минимальное остовное Заметим, что дерево <tex> A </tex>, состоящее состоит полностью из безопасных ребер, так как на каждом шаге добавлялось безопасное ребро. Теперь, рассмотрим какой-нибудь разрез <tex> (S, T) </tex> уже построенного дерева <tex> A </tex> и пересекающее ребро <tex> (u, v) </tex>, причем <tex> u \in S </tex>, а <tex> v \in T </tex>. Найдем путь в изначальном графе <tex> G </tex>, соединяющий вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Так как они находятся в разных компонентах связности, то какое-нибудь ребро <tex> (a, b) \notin A</tex> тоже будет пересекать разрез <tex> (S, T) </tex>. Очевидно, что <tex> w(u, v) \leqslant w(a, b) </tex>, так как первое {{---}} безопасное ребро. Следовательно, любое ребро <tex> \notin A</tex> не легче ребер <tex> \in A </tex> на этом цикле. Легко заметить, что остовное дерево, не удовлетворяющее условию, не минимально. Если для какого-то ребра оказалось, что оно легче некоторых рёбер образуемого цикла, то можно получить остов с меньшим весом, добавив это ребро в остов, и удалив самое тяжелое ребро из цикла. Если же это условие не выполнилось ни для одного ребра, то вес остова при добавлении не изменится.
Теперь, рассмотрим какой-нибудь разрез <tex> (S, T) </tex> уже построенного дерева <tex> A </tex> и пересекающее ребро <tex> (u, v) </tex>, причем <tex> u \in S </tex>, а <tex> v \in T </tex>. Найдем путь в изначальном графе <tex> G </tex>, соединяющий вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Так как они находятся в разных компонентах связности, то какое-нибудь ребро <tex> (a, b) \notin A</tex> тоже будет пересекать разрез <tex> (S, T) </tex>. Очевидно, что <tex> w(u, v) \leqslant w(a, b) </tex>, так как второе {{---}} безопасное ребро.
}}
