Числа Эйлера I и II рода

Числа Эйлера I рода

Определение:

Пусть [math]a[/math] и [math]b[/math] — соседние элементы некоторой перестановки порядка [math]n[/math] причем [math]a \lt b[/math]. Тогда пара [math](a, b)[/math] называется подъемом (англ. ascent) данной перестановки.

Числа Эйлера I рода (англ. Eulerian numbers) — количество перестановок чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] таких, что в каждой из них существует ровно [math]m[/math] подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как [math]\langle{n\atop m}\rangle [/math] или же [math]A(n, m)[/math].

Вывод рекуррентной формулы

Пусть у нас есть некая перестановка [math] \pi = \pi_1, \pi_2\ldots \pi_{n-1} [/math]. Тогда операцией вставки элемента с номером [math]n[/math] в какую-либо из позиций мы получим [math]n[/math] перестановок вида [math]\theta = \theta_1, \theta_2\ldots \theta_p, n, \theta_q\ldots \theta_{n-1}[/math]. Далее рассмотрим два случая:

1. Количество подъемов в перестановке [math]\theta[/math] равно количеству подъемов в [math]\pi[/math]. Этого можно добиться, вставляя элемент [math]n[/math] на самое первое место в [math]\theta[/math] (всего [math]\langle{n - 1\atop m}\rangle [/math] возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще [math]m \times [/math][math] \langle{n\atop m - 1}\rangle [/math] раз).
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента [math]n[/math] во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить [math](n - m)[/math][math]\langle{n\atop m}\rangle[/math].

Тогда рекуррентная формула имеет вид:

[math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle[/math] [math] = (m + 1)[/math] [math]\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle[/math] [math] + (n - m)[/math] [math]\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle[/math]

Примем также следующее начальное значение:

[math]\left\langle{0\atop m}\right\rangle[/math] [math] = [m = 0][/math].

Пример

Рассмотрим все перестановки порядка [math]4[/math], в которых есть ровно [math]2[/math] подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):

[math] \left\langle{4\atop 2}\right\rangle[/math] [math] = 11: [124]3, [13][24], [134]2, [14][23], 2[134], [23][14], [23][41], [24][13], 3[124], [34][12], 4[123], [/math]

Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить [math]4[/math] в следующие позиции всех перестановок порядка [math]3[/math] с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:

[math] \left\langle{3\atop 2}\right\rangle[/math] [math] = 1: [123] \Rightarrow (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3 [/math]

Далее рассмотрим все перестановки порядка [math]3[/math] с одним подъемом, причем операцией вставки [math]4[/math] мы будем увеличивать количество перестановок на [math]1[/math]:

[math] \left\langle{3\atop 1}\right\rangle[/math] [math] = 4:[/math]

[math][13]2 \Rightarrow [13(4)]2, [13][2(4)];[/math]

[math]2[13] \Rightarrow [2(4)][13], 2[13(4)];[/math]

[math][23]1 \Rightarrow [23(4)]1, [23][1(4)];[/math]

[math]3[12] \Rightarrow [3(4)][12], 3[12(4)];[/math]

Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:

[math] \left\langle{4\atop 2}\right\rangle[/math] [math] = (2 + 1)[/math] [math]\left\langle{3\atop 2}\right\rangle[/math] [math] + (4 - 2)[/math] [math]\left\langle{3\atop 1}\right\rangle[/math] [math] = 11;[/math]

Треугольник чисел Эйлера I рода

На значениях [math]n = m[/math] чисел Эйлера I рода можно построить массив [math]n \times m[/math], нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.

	m = 0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n = 0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
3	1	4	1	0	0	0	0	0	0	0
4	1	11	11	1	0	0	0	0	0	0
5	1	26	66	26	1	0	0	0	0	0
6	1	57	302	302	57	1	0	0	0	0
7	1	120	1191	2416	1191	120	1	0	0	0
8	1	247	4293	15619	15619	4293	247	1	0	0
9	1	502	14608	88234	156190	88234	14608	502	1	0

Явные формулы

[math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle[/math] [math] = \sum\limits_{j=1}^{m+1} (-1)^{m-j+1} {n+1\choose m-j+1}j^{n}[/math]

[math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle[/math] [math] = \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j {n+1\choose j} (m+1-j)^n[/math]

Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов

Теорема:

Число [math]\dfrac{1}{n!}[/math] [math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle[/math] выражает объем части [math]n[/math]-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями [math]x_1+x_2+\dots+x_n=m[/math] и [math]x_1+x_2+\dots+x_n=m-1[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: Теорема (Об объемах сечений [math]n[/math]-мерных гиперкубов полупространствами): Пусть [math]w \in \mathbb{R}[/math] — вектор с ненулевыми компонентами ([math]w = {w_1, w_2 \ldots w_n}[/math]), а [math]z \in \mathbb{R}_+[/math]. Тогда верно следующее равенство: [math]\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \dfrac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+[/math] [math]G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \leqslant z \}[/math] — полупространство; [math]I^n := [0,1]^n[/math]; [math][n] := \{1,2\ldots n\}[/math]; [math]1_K[/math], где [math]K[/math] — подмножество [math]\{1,2\ldots n\}[/math], — вектор, где значения координат с номерами, входящими в [math]K[/math], равны [math]1[/math], а остальные — нули; Для [math]r \in \mathbb{R}[/math] и [math]n \in \mathbb{N}[/math] : [math]r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n[/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] С доказательством можно ознакомиться по ссылке . [math]\triangleleft[/math] m = 2, n = 1. V = 1/2 m = 3, n = 2. V = 1/6 Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством [math]G^n_{1_{[n]},m}[/math]. Вектор [math]1_{[n]}[/math] (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости ([math]x_1+x_2+\ldots +x_n = m | m+1[/math]) — это вектор нормали к [math]\mathrm{G}[/math]. Очевидно, что при данном значении вектора произведение [math]\prod\limits_{i=1}^{n}w_i[/math] равно единице (вектор [math]w_i[/math] тут — единичный вектор [math]1_{[n]}[/math], то есть рассматривается произведение всех его координат — единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам [math][n][/math] равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение [math](-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+[/math] зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества [math]K[/math] — скалярное произведение [math]w \cdot 1_K[/math] одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно [math]n - |K|[/math] их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности [math]K[/math]. Заменим итератор суммы значением мощности множества [math]K[/math]. Также ограничим верхний индекс суммирования значением [math]m+1[/math], так как при больших значениях [math]j[/math] слагаемое будет обращаться в ноль ([math]r^n_+[/math]). Отсюда имеем [math]{n \choose j}[/math] таких одинаковых слагаемых, где [math]j = |K|[/math]. Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей: [math]\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n[/math] Положим [math]W_n^m[/math] — фигура, образованная сечением гиперкуба [math][0,1]^{n}[/math] плоскостями [math]\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m[/math] и [math]\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1[/math]. [math]W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \leqslant x \cdot 1_{[n]} \leqslant m+1 \} \cap I^{n}[/math] Тогда перейдем к следующему равенству: [math]\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)[/math] [math]= \dfrac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}][/math] [math] = \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n[/math] [math] = \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n[/math] (элемент суммы с номером [math]j=m+1[/math] обращается в ноль) [math] = [/math] [math]\dfrac{1}{n!}[/math] [math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle[/math] (вторая явная формула)

[math]\triangleleft[/math]

Свойства

1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:

   [math]\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle[/math][math],\ n \geqslant 1,\ 0 \leqslant k \leqslant n-1. \, [/math]

2. Сумма всех значений каждого ряда равна [math] n! [/math]:

   [math]\sum\limits_{m=0}^{n}[/math][math] \left\langle{n\atop m}\right\rangle[/math] [math] = n!,\ n \geqslant 0, \,[/math]

3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:

   [math]\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m [/math][math]{\left\langle{n\atop m}\right\rangle}[/math] [math]{n-1\choose m}^{-1}=0.[/math]

4. Вероятность того, что сумма [math]n[/math] независимых равномерно распределённых в отрезке [math][0,1][/math] переменных лежит между [math]m-1[/math] и [math]m[/math] равна [math]\dfrac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle[/math].

Числа Эйлера II рода

Числа Эйлера II рода (англ. Eulerian numbers of the second kind) — количество перестановок мультимножества от [math]1[/math] до [math]n[/math] вида [math]\{1,1,2,2\ldots n,n\}[/math], обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями [math]z[/math] для любого [math]z[/math], больше, чем [math]z[/math]", таких, что в каждой из них существует ровно [math]m[/math] подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как [math] \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle [/math]

Пример

Рассмотрим [math] n = 3[/math]. Тогда существует [math]15[/math] перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, [math]8[/math] штук имеют всего [math]1[/math] подъем, и [math]6[/math] перестановок имеют [math]2[/math] подъема:

[math] 332211,\; [/math]

[math] 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, [/math]

[math]1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. [/math]

Лемма:

Количество перестановок мультимножества [math]\{1,1,2,2\ldots n,n\}[/math] со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями [math]z[/math] для любого [math]z[/math], больше, чем [math]z[/math]" равно двойному факториалу [math](2n-1)!![/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем лемму методом математической индукции. База. Для [math]n=1[/math] очевидно, что существует только одна такая перестановка. Переход. Рассмотрим какую-нибудь перестановку длины [math]2n[/math]. Таких перестановок [math](2n-1)!![/math]. Теперь докажем, что перестановок длины [math]2(n+1)[/math] будет [math](2(n+1)-1)!![/math]. Попробуем вставить два числа [math]n + 1[/math]. Очевидно, что их нельзя вставить не на соседние места, так как в таком случае между ними точно будут меньшие элементы. Но их можно вставить в любые два соседних места, так как они больше всех чисел в перестановке, а значит они не нарушат свойства для других элементов. Таким образом два новых элемента можно вставить в [math]2n+1[/math] место. В итоге перестановок длины [math]2(n+1)[/math] будет [math](2n-1)!!\cdot (2n+1)=(2n+1)!!=(2(n+1)-1)!![/math].

[math]\triangleleft[/math]

Рекуррентная формула

Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:

[math] \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle[/math] [math] = (2n-m-1) [/math] [math]\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle[/math] [math] + (m+1) [/math] [math]\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, [/math]

С начальным условием для [math]n = 0[/math]:

[math] \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle[/math] [math] = [m=0]. [/math]

Треугольник чисел Эйлера II рода

Значения чисел Эйлера II рода для [math]0 \leqslant n \leqslant m \leqslant 9[/math] представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.

	m = 0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n = 0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	2	0	0	0	0	0	0	0	0
3	1	8	6	0	0	0	0	0	0	0
4	1	22	58	24	0	0	0	0	0	0
5	1	52	328	444	120	0	0	0	0	0
6	1	114	1452	4400	3708	720	0	0	0	0
7	1	240	5610	32120	58140	33984	5040	0	0	0
8	1	494	19950	195800	644020	785304	341136	40320	0	0
9	1	1004	67260	1062500	5765500	12440064	11026296	3733920	362880	0

Источники информации

• Eulerian number — Wikipedia
• Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki
• Eulerian number — Math Pages
• Числа Эйлера — Wolfram Mathworld
• A Refinement of the Eulerian numbers
• Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба