62
правки
Изменения
→Дополнительные тождества: Исправлена дробь
Для целых, положительных <tex>l,m,n:</tex>
*<tex dpi="160">\left[{n+1\atop m+1}\right]=\sum\limits_{k=1}^n \left[{n\atop k}\right] {k \choose m}=n! \sum\limits_{k=0}^n \frac{\left[{k\atop m}\right]/}{k! } </tex>
Второе равенство доказывается путем постепенного спуска вниз:
<tex dpi="160">\left[{n+1\atop m+1}\right]=\left[{n\atop m}\right] + n \cdot \left[{n\atop m+1}\right]=\left[{n\atop m}\right] + n \cdot \left(\left[{n-1\atop m}\right] + (n-1) \cdot \left[{n-1\atop m+1}\right]\right)=...=\sum\limits_{k=0}^n \left[{k\atop m}\right]\frac{n!/}{k!}=n! \sum\limits_{k=0}^n \frac{\left[{k\atop m}\right]/}{k!}</tex>
Чтобы доказать первое, будем использовать биекцию(из прошлого раздела) в факториальные степени, а также формулу <tex dpi="160">(x)_{n+1} = x \cdot (x-1)_n \;</tex>.
