Бинарное отношение

Определение:

Бинарным отношением (англ. binary relation) [math]R[/math] из множества [math]A[/math] в множество [math]B[/math] называется подмножество прямого произведения [math]A[/math] и [math]B[/math] и обозначается: [math]R \subset A \times B[/math].

Часто используют инфиксную форму записи: [math]aRb, \ \langle x, y \rangle\in R[/math].

Если отношение определено на множестве [math]A[/math], то возможно следующее определение:

Определение:

Бинарным (или двуместным) отношением [math]R[/math] на множестве [math]A[/math] называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

Свойства отношений

Для [math]R \subset A^2[/math] определены свойства:

• Рефлексивность (англ. reflexivity): [math]\mathcal {8} x \in A \ (xRx)[/math];
• Антирефлексивность (англ. irreflexivity): [math]\mathcal {8} x \in A \ \neg(xRx)[/math];
• Симметричность (англ. symmetry): [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow yRx)[/math];
• Антисимметричность (англ. antisymmetry): [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)[/math];
• Транзитивность (англ. transitivity): [math]\mathcal {8} x,y,z \in A \ (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)[/math];
• Связность (англ. connectivity): [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \lor yRx)[/math];
• Ассимметричность (англ. assymetric relation): [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow \neg (yRx))[/math].

Виды отношений

Выделяются следующие виды отношений:

• квазипорядка (англ. quasiorder) — рефлексивное транзитивное;
• эквивалентности (англ. equivalence) — рефлексивное симметричное транзитивное;
• частичного порядка (англ. partial order) — рефлексивное антисимметричное транзитивное;
• строгого порядка (англ. strict order) — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;
• линейного порядка (англ. total order) — полное антисимметричное транзитивное;
• доминирования (англ. dominance) — антирефлексивное антисимметричное.

Примеры отношений

• Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
• Примеры нерефлексивных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
• Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
• Примеры симметричных отношений: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
• Примеры антисимметричных отношений: больше, меньше, больше или равно.
• Примеры асимметричных отношений: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).

См. также

• Композиция отношений
• Транзитивное замыкание
• Отношение порядка

Источники информации

• Новиков Ф. А. — Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 3-е изд. — СПБ.: Питер, 2009 — 50 с.
• Википедия — Бинарное отношение
• Wikia — Бинарное отношение
• Studfiles — Лекции по дискретной математике. Отношения и их свойства