Дискретная случайная величина — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Fix ticket)
Строка 15: Строка 15:
 
# Число попаданий в мишень при <tex>n</tex> выстрелах. Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex>  
 
# Число попаданий в мишень при <tex>n</tex> выстрелах. Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex>  
 
# Количество выпавших орлов при <tex>n</tex> бросков монетки. Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex>  
 
# Количество выпавших орлов при <tex>n</tex> бросков монетки. Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex>  
# Количество выученных билетов, число звонков, поступавших на телефонную станцию в течение месяца. Принимаемые значения также <tex>0 \ldots n</tex>
 
 
# Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений {{---}} <tex>\{1,2,3,4,5,6\}</tex>  
 
# Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений {{---}} <tex>\{1,2,3,4,5,6\}</tex>  
# Сумма выигрыша в лотерее, если выпущено <tex>1000</tex> лотерейных билетов: на <tex>5</tex> из них выпадает выигрыш в сумме <tex>500</tex> рублей, на <tex>10</tex> {{---}} <tex>100</tex> рублей, на <tex>20</tex> {{---}} <tex>50</tex> рублей, и на <tex>50</tex> {{---}} <tex>10</tex> рублей. Случайная величина принимает одно из значений {{---}} <tex>\{0, 10, 50, 100, 500\}</tex>
 
  
 
Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.
 
Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.
Строка 34: Строка 32:
  
 
*<tex>\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1</tex>.
 
*<tex>\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1</tex>.
 +
 +
===Примеры===
 +
#Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть <tex>n</tex> выстрелов, вероятность попадания равна <tex>p</tex>. Необходимо найти <tex>F(k)</tex>. Для <tex>k \leqslant 0 ~ F(x) = 0</tex>, так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для <tex>k > 0 ~ F(x) = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1}\dbinom{n}{i}p^{i} (1-p)^{k - i}</tex>
 +
#Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла {{---}} <tex>p</tex>.
 +
#Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел <tex>1 \ldots 6</tex> соответственно равны <tex>p_{1} \ldots p_{6}</tex>. Для <tex>k \leqslant 1 ~ F(x) = 0</tex>, так как не может выпасть цифра меньше <tex>1</tex>. Для <tex>k > 1 ~ F(x) = \sum\limits_{i = 1}^{k - 1}p_{i}</tex>
  
 
==Функция плотности вероятности==
 
==Функция плотности вероятности==

Версия 01:11, 7 марта 2018

Определение:
Случайная величина (англ. random variable) — отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел. [math] \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}[/math]


Дискретная случайная величина

Определение:
Дискретной случайной величиной (англ. discrete random variable) называется случайная величина, множество значений которой не более чем счётно, причём принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определённой вероятностью.


Примеры

Проще говоря, дискретные случайные величины — это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:

  1. Число попаданий в мишень при [math]n[/math] выстрелах. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
  2. Количество выпавших орлов при [math]n[/math] бросков монетки. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
  3. Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений — [math]\{1,2,3,4,5,6\}[/math]

Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.

Функция распределения

Определение:
Функция распределения случайной величины (англ. cumulative distribution function (CDF)) — функция [math]F(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как [math]P(\xi \lt x)[/math], т.е. выражающая вероятность того, что [math]\xi[/math] примет значение, меньшее чем [math]x[/math]


Свойства функции распределения:

  • [math]F(x_1)\leqslant F(x_2)[/math] при [math]x_1 \leqslant x_2;[/math]
  • [math]F(x)[/math] непрерывна слева [math]\forall x \in \mathbb{R};[/math]
  • [math]\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1[/math].

Примеры

  1. Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть [math]n[/math] выстрелов, вероятность попадания равна [math]p[/math]. Необходимо найти [math]F(k)[/math]. Для [math]k \leqslant 0 ~ F(x) = 0[/math], так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для [math]k \gt 0 ~ F(x) = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1}\dbinom{n}{i}p^{i} (1-p)^{k - i}[/math]
  2. Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла — [math]p[/math].
  3. Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел [math]1 \ldots 6[/math] соответственно равны [math]p_{1} \ldots p_{6}[/math]. Для [math]k \leqslant 1 ~ F(x) = 0[/math], так как не может выпасть цифра меньше [math]1[/math]. Для [math]k \gt 1 ~ F(x) = \sum\limits_{i = 1}^{k - 1}p_{i}[/math]

Функция плотности вероятности

Определение:
Функция плотности вероятности (англ. Probability density function) — функция [math]f(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как первая производная функции распределения.
[math]f(x) = F'(x)[/math]


Свойства функции плотности вероятности:

  • Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
[math]\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1[/math].
  • Плотность вероятности определена почти всюду.
Иными словами, множество точек, для которых она не определена, имеет меру ноль.

См. также

Источники информации