Покрытие рёбер графа путями — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎См. также)
(Доказательство)
Строка 4: Строка 4:
 
|proof=
 
|proof=
  
−
'''Необходимость'''
+
Рассмотрим граф <tex>G,</tex> который содержит <tex>2N</tex> вершин, имеющих нечетную степень. Докажем, что его можно покрыть <tex>N</tex> рёберно-простыми путями.
  
−
Докажем, что <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> рёберно-простыми путями.
+
Соединим попарно вершины, имеющие нечётные степени, и получим связный граф <tex>G',</tex> все вершины которого имеют чётную степень. Такой граф удовлетворяет [[Эйлеровость_графов#.D0.9A.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.B9_.D1.8D.D0.B9.D0.BB.D0.B5.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|критерию эйлеровости]] и содержит эйлеров цикл. Рассмотрим этот цикл и удалим из него <tex>N</tex> добавленных ребер <tex>G' \backslash G.</tex> Цикл распадётся на <tex>N</tex> путей, которые являются простыми, так как рассматриваемый цикл эйлеров, и покрывают весь граф, поэтому полученное разбиение является искомым.
−
 
 
−
Добавим <tex> N </tex> рёбер <tex>uv</tex> таких, что степени вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> нечётные. Тогда степени всех вершин станут чётными, и в <tex>G</tex> появится Эйлеров цикл <tex>c</tex> (критерием Эйлеровости графа является отсутствие нечётных вершин в связном мультиграфе).
 
−
 
 
−
Удалим из <tex>c</tex> добавленные рёбра.
 
−
Заметим, что теперь цикл распадается на <tex> N </tex> простых путей. В самом деле: возьмем Эйлеров цикл и удалим из него <tex>N</tex> рёбер. Теперь полученный граф можно разбить на <tex>N</tex> (или меньше) цепей между этими удалёнными рёбрами.
 
−
 
 
−
'''Достаточность'''
 
−
 
 
−
Докажем, что <tex>G</tex> нельзя покрыть менее, чем <tex>N</tex> рёберно-простыми путями.  
 
−
 
 
−
Предположим, что такое возможно, и существует набор рёберно-простых путей <tex>p_1, p_2, ... p_k, k < N</tex>, такой что он покрывает все рёбра <tex>G</tex>. Пусть <tex>i-</tex>й путь из этого набора имеет вид <tex> w_i = u_{i_0}e_{i_1}u_{i_1}...u_{i_m}</tex>. Добавим в <tex>G</tex> все рёбра вида <tex>u_{i_m}u_{{i+1}_0}</tex> (соединяют конец предыдущей и начало следующей цепи) и ребро <tex>u_{k_m}u_{1_0}</tex> (соединяет конец последней и начало первой цепей).  
 
−
 
 
−
В новом графе появится Эйлеров цикл, т.к. мы добавили рёбра, соединяющие конец и начало <tex> i </tex> и <tex> i + 1 </tex> пути соответственно. Всего добавлено <tex>k</tex> рёбер, которые меняют чётность не более, чем <tex>2k</tex> вершин. Т.к. <tex>k < N</tex>, то в графе останутся вершины нечётной степени, что не удовлетворяет критерию Эйлеровости графа.<br/>
 
−
 
 
−
Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше <tex>N</tex>, не существует.
 
 
}}
 
}}
  

Версия 14:41, 12 октября 2018

Следующее утверждение являются следствием из критерия Эйлеровости графа:

Теорема:
Пусть [math]G[/math] — граф, в котором [math]2N[/math] вершин имеют нечётную степень. Тогда множество рёбер [math]G[/math] можно покрыть [math]N[/math] рёберно-простыми путями.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим граф [math]G,[/math] который содержит [math]2N[/math] вершин, имеющих нечетную степень. Докажем, что его можно покрыть [math]N[/math] рёберно-простыми путями.

Соединим попарно вершины, имеющие нечётные степени, и получим связный граф [math]G',[/math] все вершины которого имеют чётную степень. Такой граф удовлетворяет критерию эйлеровости и содержит эйлеров цикл. Рассмотрим этот цикл и удалим из него [math]N[/math] добавленных ребер [math]G' \backslash G.[/math] Цикл распадётся на [math]N[/math] путей, которые являются простыми, так как рассматриваемый цикл эйлеров, и покрывают весь граф, поэтому полученное разбиение является искомым.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Покрытие_рёбер_графа_путями&oldid=66481»