200
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M</tex> = <tex>\langle S,\mathcal{I} \rangle</tex> = <tex>\bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i</tex> = <tex>\langle S,\mathcal{I}_i \rangle</tex>
}}
Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>, где <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, такой что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.
Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество вершин из <tex>S_i \setminus I_i</tex>, которые могут быть добавлены в <tex>I_i</tex> таким образом, что <tex>I_i + x</tex> независимое множество в <tex>M_i</tex>. Или формально:
<tex>F_i = \{ x \in S \setminus I_i : I_i + x \in \mathcal{I}_i \}</tex>. <tex>F</tex> = <tex>\bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>F_i</tex>
Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом [[Граф замен|графе замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I + s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex>. Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.
Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).
Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \le leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex>. Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :
<tex>r_M(I + s) \le leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>
<tex>r_M(I + s) \le leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}
