Связь вершинного покрытия и независимого множества

Определения

Независимое множество

Пример минимального вершинного покрытия графа

Определение:

Независимым множеством вершин графа [math]G[/math] называется такое множество [math]IVS[/math] [math](Independent[/math] [math]vertex[/math] [math]set) [/math], что [math] \forall u, v \in IVS[/math] [math]uv \notin E[/math].

Определение:

Максимальным независимым множеством [math]MIVS[/math] [math](Maximum[/math] [math]independent[/math] [math]vertex[/math] [math]set)[/math] называется IVS максимальной мощности.

Связь вершинного покрытия и независимого множества

Теорема:

Дополнение минимального вершинного покрытия является максимальным независимым множеством.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим произвольное [math]MIVS[/math] графа. Из определения следует, что любое ребро соединяет либо вершину из [math]MIVS[/math] и [math]V \backslash MIVS[/math], либо вершины множества [math]V \backslash MIVS[/math]. Таким образом, каждое ребро инцидентно некоторой вершине множества [math]V \backslash MIVS[/math], то есть [math]V \backslash MIVS[/math] является некоторым вершинным покрытием. Тогда [math]|MVC| \le |V \backslash MIVS|[/math] или [math]|MVC| + |MIVS| \le |V|[/math]. Рассмотрим произвольное [math]MVC[/math] графа. Так как каждое ребро инцидентно хотя бы одной вершине из [math]MVC[/math], то [math]V \backslash MVC[/math] является независимым множеством. Тогда [math]|V \backslash MVC| \le |MIVS|[/math] или [math]|V| \le |MVC| + |MIVS|[/math]. Значит, [math]|V| = |MIVS| + |MVC|[/math], и [math]V \backslash MVC[/math] является максимальным независимым множеством, а [math]V \backslash MIVS[/math] - минимальным вершинным покрытием.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах.

Источники

1. Вершинное покрытие.
2. Независимое множество.