Матрица смежности графа

Определение:

Матрицей смежности (англ. Adjacency matrix) [math]A=||\alpha_{i,j}||[/math] помеченного графа [math]G(V,E)[/math] называется матрица [math]A_{[V\times{}V]}[/math], в которой [math]\alpha_{i,j}[/math] — количество рёбер, соединяющих вершины [math]v_i[/math] и [math]v_j[/math], причём при [math]i=j[/math] каждую петлю учитываем дважды, если граф не является ориентированным, и один раз, если граф ориентирован.

Пример

Граф	Матрица смежности
	[math]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}[/math]

Свойства

Для графов без петель и кратных рёбер матрица смежности бинарна (состоит из нулей и единиц), причём её главная диагональ целиком состоит из нулей.

Случай ориентированного графа

Сумма элементов [math]i[/math]-й строки равна [math]deg^- v_i[/math], то есть [math]\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg^- v_i[/math]. Аналогично сумма элементов [math]j[/math]-го стоблца равна [math]deg^+ v_j[/math], то есть [math]\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg^+ v_j[/math].

Случай неориентированного графа

Для неориентированных графов матрица смежности является симметричной.

Сумма элементов [math]i[/math]-й строки равна [math]deg \; v_i[/math], то есть [math]\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg \; v_i[/math]. В следствии симметричности суммы элементов [math]i[/math]-й строки и [math]i[/math]-го столбца равны.

См. также

• Связь степени матрицы смежности и количества путей
• Матрица инцидентности графа

Литература

• Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
• Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы — НИЦ РХД, 2001. — 288 с. — ISBN 5-93972-076-5