Изменения

'''Циркуляцией''' называется поток Поток нулевой величины в [[Определение сети, потока|сети]] $G(V, E)$ величины нольназывается '''циркуляцией''' (англ. ''circulation problem''). Каждое ребро $e_i$ имеет $l_i$ и $c_i$ {{---}} минимальная и максимальная пропускная способности соответственно. Необходимо выяснить, существует ли в этой сети циркуляция, удовлетворяющая пропускным способностям рёбер.

[[Файл:Циркул2.png|frame|справа|Рисунок 1. Пример графа и циркуляции в нем (поток/пропуск.способность)]]

То есть Иначе говоря, [[Определение сети, потока#Определение потока|закон сохранения потока ]] <tex>\sum\limits_v f(u,v)=0</tex> должен выполняться для '''всех''' без исключения вершин графа. Фактически, а значит нет нужды в истоке и стоке.</wikitex>==Постановка задачи==<wikitex>Рассмотрим сеть Когда все $G(V, E)l_i$, в которой про каждое ребро равны $e_i0$ известны , достаточно пустить поток нулевой величины: $l_i$ {{---}} минимальная пропускная способность из каждой вершины, что и $c_i$ {{---}} максимальная пропускная способностьбудет ответом. Необходимо выяснить, существует ли Поэтому далее в этой сети циркуляция, удовлетворяющая требованиям, наложенным на пропускные способностиграфе будут существовать рёбра с положительной нижней пропускной способностью.

Если рассматривать тривиальный случай==Решение==<wikitex>Для решения этой задачи заменим исходную сеть $G$ на $G'$ следующим образом. Сначала добавим в граф вершины $s$ {{---}} исток и $t$ {{---}} сток. Для каждого ребра $e_i = v_{from} \xrightarrow{l_i, когда все c_i} v_{to}$ добавим рёбра $s \xrightarrow{0, l_i = } v_{to}$ и $u_{from} \xrightarrow{0, l_i} t$, то достаточно пустить поток величины ноль из каждой вершиныа также сделаем в ребре $e_i$ изменения: $c_i = c_i - l_i, что и будет ответомl_i = 0$ (см. Поэтому далее в графе будут существовать ребра с положительно нижней пропускной способностьюрисунок 2). </wikitex>

==Решение==<wikitex>Для решения этой задачи нам понадобится изменить исходную сеть $G$ в $G'$ следующим образом[[Файл:Циркуляция.png|frame|center|Рисунок 2. Сначала добавим в Слева - изначальный граф вершины $x$ {{---}} новый исток и $y$ {{---}} новый сток. Для каждого ребра $e_i = v_{from} \xrightarrow{l_i, c_i} v_{to}$ добавим ребра $x \xrightarrow{0, l_i} v_{to}$ заданы его нижняя и $u_{from} \xrightarrow{0, l_i} y$, а также сделаем в ребре $e_i$ изменения: $c_i = c_i верхняя пропускные способности. Справа - l_i, l_i = 0$граф после преобразований рёбер.]]

Проанализируем новую сеть. Каждое ребро изначального графа мы заменили заменяется на три новых. Тот факт, что Если по изначальному ребру $e_i= (v_{from}, v_{to})$ должен течь в исходной сети протекает поток $l_i \leqslant f_i \leqslant c_i$ означает, что то в новой сети по ребру $(xs, v_{to})$ должен течь поток, равный $l_i$, то есть его пропускной способности. Поток, который раньше мог вытекать вытекает из $v_{from}$ по изначальному ребрув $G$, заменяется на поток, который может течь протекает по ребрам рёбрам $(v_{from}, v_{to})$ и $(v_{from}, yt)$ (это ясно из того, что поскольку сумма их пропускных способностей в полученном графе равна $c_i$). То же самое верно и в вершине Аналогично, для вершины $v_{to}$, куда суммарный возможный входящий поток не изменился. Таким образом, ясно, что любой допустимый поток по любому ребру в изначальном графе можно распределить между тремя ребрами рёбрами в полученном графе. Заметим, что в этом самом графе сети $G'$ все $l_i = 0$, то есть мы имеем обыкновенную сеть.

От нас требовалось Требовалось найти циркуляцию в исходной сети, то есть а значит проверитьсуществование потока, есть ли такой поток, что для которого выполнено равенство <tex>\sum\limits_v f(u,v)=0</tex> выполнено для всех вершин этого графа. Но это Это равносильно существованию потока между вершинами $xs$ и $yt$ в сети $G'$, который полностью насытит ребрарёбра, исходящие из истока. Действительно, этот факт будет означать, что этот поток в исходном графе насытит $i$-ое ребро как минимум на $l_i$, то что и является нужным необходимым требованием. Если этот поток существует, то мы будем иметьбудет выполнено:* $\sum\limits_v f(u,v)=0,$ где $u \in V'-\{xs,yt\}, v \in V'$, то есть для всех исходных вершин;* В $G': f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow 0 \leqslant f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow l_i \leqslant f_i + l_i \leqslant c_i$, то есть все что удовлетворяет всем ограничениям.то Значит, этот поток и есть '''циркуляцию'''циркуляция.

Запустим в новой сети один из алгоритмов поиска максимального потока. Если он не смог полностью насытить все ребра их рёбра из истока, то и никакой другой по величине поток этого сделать не сможет, значит, циркуляции нет. Для получения величин потоков по каждому ребру вдоль каждого ребра в изначальной сети в случае, если циркуляция есть, достаточно просто прибавить к потокам вдоль рёбер в ребрах сети $eG'_i$ величины $l_i$соответствующие значения минимальной пропускной способности.