Сокращённая и минимальная ДНФ

Сокращенная ДНФ

Запишем известную функцию <x,y,z> (медиана) в СДНФ: [math](x \land y \land z) \lor (x \land y \land \lnot z) \lor (x \land \lnot y \land z) \lor (\neg x \land y \land z)[/math]. Известно, что это выражение равносильно следующему: [math]((x \land y \land z) \lor (x \land y \land \lnot z)) \lor ((x \land \lnot y \land z) \lor (x \land y \land z)) \lor ((\neg x \land y \land z) \lor (x \land y \land z))[/math]. Вынесем в каждой скобке общий конъюнкт (например, в первой [math](x \land y \land z) \lor (x \land y \land \lnot z)=(x \land y) \lor (z \land \lnot z))[/math]. Т.к. [math]z \land \lnot z = 0[/math], то такой конъюнкт не влияет на значение выражения, и его можно опустить. Получим в итоге формулу [math](x \land y) \lor (y \land z) \lor (x \land z)[/math].

Определение:

Сокращенная ДНФ: форма записи функции, обладающая следующими свойствами: Никакие два слагаемых нельзя объединить по рассмотренному выше правилу. Ни один из конъюнктов не является подмножеством другого (например, [math](x \land y)[/math] - подмножество [math](x \land y \land z)[/math]). Функцию можно записать с помощью сокращенной ДНФ не единственным способом.

Минимальная ДНФ

Определение:

Минимальная ДНФ — та сокращенная ДНФ, в которой содержится минимальное количество вхождений переменных.

Каждая минимальная ДНФ является сокращенной, но не каждая сокращенная — минимальна. Например, запись [math](x \land y) \lor (y \land z) \lor (x \land z)[/math] является минимальной ДНФ для медианы (она же сокращенная, как видно в примере выше); а запись [math](x \land y \land \lnot z) \lor (\neg x \land y \land z) \lor (x \land z)[/math] - не минимальная, но сокращенная ДНФ.
Минимальная ДНФ представляет функцию в наиболее удобном для работы с ней виде.

См. также

Минимизация ДНФ с помощью покрытий гиперкуба и карт Карно