Изменения
→Оценка минимальной и максимальной длины кода
На вход алгоритму передаётся последовательность символов и алфавит. Каждому символу алфавита <tex>\alpha \in \sum</tex> сопоставляется его вес <tex>w_\alpha</tex>. В начале работы алгоритма все веса символов равны <tex>1</tex>.
Вероятность каждого символа <tex>\alpha</tex> {{---}} <tex>p(\alpha)</tex> устанавливется равной его весу, делённому на суммарный вес всех символов: <tex dpi="180">p(\alpha) = \fracdfrac{w_\alpha}{\sum_{i=1}^n w_i}</tex>. После получения очередного символа и построения нужного интервала, вес символа увеличивается на <tex>1</tex>. Когда все символы последовательности будут обработаны, необходимо либо записать маркер конца последовательности, либо запомнить её длину, чтобы позже передать декодировщику. После получения нужных границ <tex>[l, r]</tex>, в котором будет лежать код, необходмо выбрать число <tex>x</tex>, описывающее кодирование:<tex>x \in [l, r]</tex>. Выбор числа <tex>x</tex> производится также, как и в неадаптивном алгоритме. Выбирается число вида <tex>\fracdfrac{x}{2^p}: x,p \in \mathbb N</tex>.
=== Псевдокод алгоритма ===
L_{min} = \dfrac{1}{{\binom{l}{n+l-1}}l!} = \dfrac{1}{C_{n+l-1}^{l}l!}
</tex>
==== Докажем верхнюю границу: Верхняя граница ====
Для того, чтобы максимизировать произведение, необходимо увеличить числитель каждого члена произведения. Этого можно достичь, если передать на вход алгоритму строку, состоящую из одинаковых символов. В таком случае, на каждом из шагов <tex>k=1, 2, \dots, l</tex> вес символа будет равен k, а значение кода будет изменяться в <tex>\dfrac{k}{n+k-1}</tex> раз.
</tex>
}}
{{Утверждение
|id = th1.
|statement=При адаптивном арифметическом кодировании строки длины <tex>l</tex>, символы которой принадлежат алфавиту мощности <tex>n</tex>, количество бит, необходимых для кодирования сообщения будет лежать в диапазоне <tex>[-\sum_{i=1}^{l} log_2{\dfrac{1}{n+i-1}}, -\sum_{i=0}^{l-1}log_2\dfrac{i+1}{n+i}]</tex>
|proof=
Произведём оценку количества бит, необходимых для записи кода $L$ в общем случае:
<tex>
log_2 L = -\sum_{i=1}^{l} log_2 \frac{w_{\alpha_i}}{n+i-1}
</tex>
Все коды лежат в диапазоне <tex>[0, 1)</tex>.
Таким образом:
Максимальное количество бит будет затрачено при записи кода, являющегося минимальной дробью:
<tex>
log_2 L_{min} = -\sum_{i=1}^{l} log_2 \frac{1}{n+i-1}
</tex>
Минимальное число бит будет затрачено в случае записи кода максимального размера:
<tex>
log_2 L_{max} = -\sum_{i=0}^{l-1} log_2 \frac{i+1}{n+i}
</tex>
}}
