Изменения

|definition = '''Случайное блуждание''' (англ. ''Random walk'') {{---}} математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. При этом , предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени. В силу простоты анализа эта модель часто используется в разных сферах в математике, экономике, физике, но, как правило, такая модель является существенным упрощением реального процесса.

перемещается в точку <tex>k − 1</tex>. Физической системе соответствует [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%8C цепь Маркова]:

==Вероятность смещения на d единиц вправо или (влево)==

Выведем распределение случайной величины <tex>\xi_n</tex>. Будем считать, что <tex>P(\xi_0 = m) = 1</tex>. Это отвечает соответствует тому, что в начальный момент времени частица достоверно находилась в точке<tex>x = m</tex> (здесь <tex>m</tex> — фиксированное число) и затем начала случайно блуждать в соответствии с описанными выше правилами. Пусть <tex>d </tex> — смещение частицы за <tex>n </tex> шагов.

Рассмотрим функцию Справедливо равенство: *<tex>gP(mn\xi_n = m + d) = P(\xi_n = m + d | \xi_0 = m)</tex>:: , если <tex>gP(mn)\xi_0 =g(m)+ \sum\limits_{i=1}^{m} \dfrac{1}{m} g(n) = g(m)+g(n).</tex>

Пусть: <tex>g(2)=1 \quad</tex>Представление через условную вероятность удобно, тогда <tex>g(2^t)=t</tex> и <tex> \quad g(n^t)=t \cdot g(n)</tex>если нам необходимо явно указать, где находилась частица в начальный момент времени.

Рассмотрим такое Наша физическая модель с математической точки зрения в точности отвечаетсхеме [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8#:~:text=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9%20%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8%20(%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB.,%2C%20%D0%B0%20%D0%BD%D0%B5%D1%83%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20%E2%80%94%20%D1%81%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20 независимых испытаний Бернулли] с двумя исходами —- движением вправо, который мы будем называть успехом, и движением вправо (неудачей). Пусть частица сделала <tex> i n</tex>прыжков. Вероятность того, что средиэтих прыжков будет ровно <tex>k</tex>2^i \leqslant n^t прыжков вправо (или, что то же самое, < 2^{i+1}tex>n−k</tex>прыжковвлево) задаётся формулой:

Можно заметить, что если *<tex> iP =[ {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \log_2 quad k = 0, 1, . . . , n^t ] </tex>, то неравенство останется верным.

По предыдущим рассуждениям получаем, что:Смещение частицы и число прыжков влево и вправо связаны уравнением:*<tex>gd = 1 · k + (2^i−1) \leqslant g· (n^t) < g(2^{i+1}− k)= 2k − n \quad</tex>

: откуда <tex> i \leqslant t k = \cdot gfrac{(n+ d) }{2}</tex>. Понятно, что, поскольку частица сделала ровно <tex>n<i/tex> прыжков,число прыжков вправо должно быть целым числом в интервале <tex>[0, n]</tex>, другими словами, <tex>P(\xi_n = m +d) = 0,</tex> если <tex>k = \frac{(n + d)}{2}, k \notin \{0, 1 , . . . , n\quad \quad }</tex>. Если же указанноеограничение выполнено, то в рамках нашей модели блужданий мы можем воспользоваться распределением Бернулли <tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex>:

Делим неравенство на *<tex>t</tex>:: <tex dpiP(\xi_n = m + d) ="140">\dfrac{iC_{n}^k}p^k q^{tn−k} , \leqslant gquad k = \frac{(n+ d) < \dfrac{i+1}{t2}</tex>, то есть при обязательном условии <tex dpi="140">\dfrack ∈ {[ \log_2 0, 1, . . . , n^t ]}{t} \leqslant g(n) < \dfrac{[ \log_2 n^t ]+1}{t}.</tex>

'''Замечания'''. <tex>1)</tex> Ограничение <tex>0 \leq k \leq n </tex> по формуле <tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n</tex> влечёт <tex>|d| \leq n</tex>. Это можно понять и без расчётов: если <tex>|d| > n</tex>, то частица не успевает дойти из начальной в конечную точку за <tex>n</tex> шагов.  <tex>2)</tex> При своём движении частица случайным образом выбирает одну из возможных траекторий. Для перехода из точки <tex>m</tex> в точку <tex>m</tex> за <tex>n</tex> шагов возможными являются все те и только те траектории длины <tex>n</tex>, в которых ровно <tex>k</tex> смещений вправо и <tex>n − k</tex> смещений влево, где <tex>k = \frac{(n + d)}{2}</tex>. Равенство <tex>P = {C_{Теоремаn}^k} p^k q^{n−k}</tex> при этом можно интерпретировать так: вероятность того, что частица пройдет по одной из возможных траекторий, равна <tex>p^k q^{n−k}</tex>, и всего существуют <tex>{C_{n}^k}</tex> таких траекторий, таким образом, *<tex>P = p^k \cdot q^{n−k}+...+p^k \cdot q^{n−k}={C_{n}^k} p^k q^{n−k}.</tex> == Случайные блуждания по прямой == Представим частицу, которая движется по целым точкам на прямой. Перемещение из одной точкив другую происходит через равные промежутки времени. За один шаг частица из точки k с положительной вероятностью p перемещается в точку <tex>k + 1</tex> и с положительной вероятностью <tex>q = 1 − p</tex>|statementперемещается в точку <tex>k − 1</tex>.Физической системе соответствует [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%8C цепь Маркова]: *<tex>\xi_n = \xi_{n-1} + \eta_n = \xi_0 + S_n, \eta_n = \begin{cases} 1 &\text{с вероятностью p}\\-1 &\text{с вероятностью 1 - p} \end{cases}</tex dpi> Заметим, что вернуться в какую-либо точку можно только за четное число шагов. ="140"= Задача о разорении игрока ==Пусть начальный капитал <tex>H\xi_0</tex> первогоигрока составляет <tex>k</tex> рублей, а капитал второго игрока <tex> – (p_1n − k)</tex> рублей. Первый игрок выигрываетили проигрывает рубль с вероятностями <tex>p</tex> и <tex>q</tex> соответственно. Игра продолжается до тех пор, покакапитал первого игрока не уменьшится до нуля, p_2либо не возрастет до <tex>n</tex>. Поглощение точки в правомконце отрезка <tex>[0, n]</tex> соответствует выигрышу первого игрока. Рассмотрим конечную цепь Маркова: <tex>\quad\dotsxi_{t+1} = \xi_t + \eta_t, p_n\quad P\{\eta_t = 1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = p,\quad P\{\eta_t = −1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = q</tex> и  <tex>\quad P\{\eta = 0|\xi_t = 0 ∨ \xi_t = n\} = 1. </tex> <tex>(2.1) </tex> Вероятность выигрыша для первого игрока в момент времени <tex>t</tex> есть <tex>p_{kn}(t) = P\{\eta_t = n|\eta_0 = k\}</tex> По формуле полной вероятности: *<tex> \quad P\{\xi_{t+1} = n\} = P\{\xi_1 = k + 1|\xi_0 = k\}P\{\xi_{t+1} = n|\xi_{1} = k + 1\} + P\{\xi_{1} = k − 1|\xi_0 = k\}P\{\xi_{t+1} = n|\xi_{1} = k -1\} </tex> или *<tex> \quad p_{kn}(t + 1) = p \cdot p_{k +1,n}(t) + q \sumcdot p_{k−1,n}(t), \quad k = 1, 2, . . . , n − 1.</tex> Теорему о предельных вероятностях применить не можем, но заметим, что: <tex> \quad \quad \limits_{i\xi_1 = n\} ⊂ \{\xi_2 = n\} ⊂ · · · ⊂ \{\xi_t = n\} ⊂ . . . </tex>  Положим <tex>A =\cup_{t=1}^∞\{\xi_t = n\}</tex>. Тогда <tex> \quad \quad p_{kn} = P(A) = \lim_{t\to\infty} p_iP\{\xi_t = n|\log_2p_i xi_0 = k \sum} = \lim_{t\to\infty}p_{kn}(t).</tex> Переходя к пределу в <tex>(2.1)</tex> при <tex>t → ∞</tex>, получим <tex>\quad \limits_quad p_{ikn} =p \cdot p_{k+1,n}^+ q \cdot p_{k−1,n} p_i</tex> Так как <tex>p_{kn}</tex> вероятность выигрыша для первого игрока, то <tex>p_{0n} = 0, p_{nn} = 1</tex>. Рассматриваемая как функция от <tex>k</tex>, вероятность <tex>p_{kn}</tex> является решением уравнения в конечных разностях *<tex> \log_2quad \dfracquad p \cdot f_{k+1}− f_{p_ik}+ q \cdot f_{k−1} = 0 </tex> <tex>(2.2)</tex>|proof удовлетворяющим граничным условиям <tex>f_0 = 0 \quad f_n = 1</tex>. Теория решения таких уравнений аналогичнатеории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть сначала <tex>p ≠ q</tex>. Решение будем искать в виде <tex>f_k = \lambda^k</tex>, где <tex>\lambda</tex> является корнем характеристического уравнения <tex>p\lambda^2 − \lambda + q = 0</tex>. Корнями такого уравнения являются <tex>\lambda_1 = 1, \lambda_2 =\frac{q}{p}</tex>. Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению <tex>(2.2)</tex>. Линейная комбинация

Теперь рассмотрим функцию при любых <tex dpi>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в <tex> f_k ="140"C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex>H(\dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{a_2}{b_2}, \dots, \dfrac{a_n}{b_n})при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex>получим

Приведем дроби внутри функции к одному знаменателю, получаем: <tex dpi="140"> H(\dfrac{a_1}{b_1}quad C_1 + C_2 = 0, \dfrac{a_2}{b_2}, quad C_1 + (\dots, \dfracfrac{a_nq}{b_np}) ^nC_2 = H(\dfrac{x_1}{b}, \dfrac{x_2}{b}, \dots, \dfrac{x_n}{b})1.</tex>

Далее по свойству энтропии Отсюда и доказанной лемме:: из <tex dpi="140">g(b)f_k = H(\dfrac{x_1}{b}, \dfrac{x_2}{b}, \dots, \dfrac{x_n}{b}) C_1λ^k_1 + \sum\limits_{i=1}C_2λ^{n} \dfrac{x_i}{b} g(x_i)k_2</tex>находим

: *<tex dpi="140">H(\dfrac{x_1}{b}, \dfrac{x_2}quad p_{bkn}, \dots, \dfrac{x_n}{b}) = \log_2b - \sum\limits_frac{i=(1}− q/p)^{nk} \dfrac{x_i}{b} \log_2x_i = -\sum\limits_{i=(1}^{n} \dfrac{x_i}{b} \log_2 \dfrac{x_i}{b}<− (q/tex>При <tex dpi="140"> p_i = \dfrac{x_i}{b} </tex> получаем, что <tex dpi="140">H(p_1, p_2, \dots, p_np) = -\sum\limits_{i=1}^{n} p_i \log_2p_i = \sum\limits_{i=1}^{n)} p_i \log_2 \dfrac{1}{p_i}.</tex> }}

== Примеры ===== Энтропия честной монеты ===Рассмотрим [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{{---k0}} честная монета. Найдем для нее энтропию::</tex> тоже удовлетворяют уравнению <tex dpi="140">H(X) = -\sum\limits_{i=1}^{n} p_i \log_2p_i = -\sum\limits_{i=1}^{2} {\dfrac{1}{.2} \cdot \log_2 \dfrac{1}{2}} = -\sum\limits_{i)</tex>. Но граничнымиусловиями станут <tex>f_0 =1}^{2} {\dfrac{1}{2} \cdot (-1)} , f_n = 10.</tex> Определяя из этих условий <tex>C_1</tex>Это означает что после броска честной монеты мы получим информацию в размере и <tex>1C_2</tex> бит, уменьшив степень неопределенности вдвое.получим

=== Энтропия нечестной монеты ===Найдем энтропию для [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностного пространства]] нечестная монета с [[Схема Бернулли| распределением Бернулли]] <tex>\quad p_{0,2; 0,8k0} = \}<frac{((q/tex>::<tex dpi="140">Hp)^k − (Xq/p) = -\sum\limits_{i=1}^{n)} p_i \log_2p_i = -0.2\log_2{(1 − (0.2q/p)-0.8\log_2(0.8^n) \approx 0}.722 < 1 </tex>

== Ограниченность энтропии ==Так как <tex>p_{k0} + p_{Теорема|statementkn} = 1</tex>0 \leqslant H(p_1, p_2, \dots, p_n) \leqslant \log_2n то с вероятностью <tex>1</tex>|proof =1) Докажем первую часть неравенства:один из игроков выиграет.

Так как Пусть теперь <tex> p_i\in[p = q = 0,\;1].5</tex>, тогда . В этом случае <tex dpi="140">\log_2lambda_1 = \dfrac{lambda_2 = 1}{p_i} \geqslant 0 </tex>. Таким образом и решение уравнения <tex dpi="140"> H(p_1, p_2, \dots, p_n2.2) </tex> нужно искать в виде <tex>f_k = \sum\limits_{i=1}^{n} p_i\log_2 \dfrac{1}{p_i} \geqslant 0 C_1 + kC_2 .</tex>

<tex dpi="140"> f(x)=\log_2x </tex> {quad p_{---kn}} выпуклая вверх функция, <tex> p_1,p_2,\ldots,p_n>0</tex> и <tex> \sum \limits_{i=1}^{n} p_i = 1 </tex>, тогда для нее выполняется неравенство Йенсена:<tex dpi="140"> \sum\limits_{i=1}^{n} p_i f(\dfrac{1}{p_i}) \leqslant f(\sum\limits_frac{i=1k}^{n} (p_i \cdot\dfrac{1}{p_i})) </tex>Таким образом получаем, что <tex> H(p_1, p_2, \dots, p_n) \leqslant \log_2n </tex>}}Тогда из теоремы и доказанной выше леммы следует, что для n исходов энтропия максимальна, если они все равновероятны.== Условная и взаимная энтропия =={{Определение|definition = '''Условная энтропия''' (англ. ''conditional entropy'') {quad p_{---}k0} определяет количество остающейся энтропии (то есть, остающейся неопределенности) события <tex>A</tex> после того, как становится известным результат события <tex>B</tex>. Она называется ''энтропия <tex>A</tex> при условии <tex>B</tex>'', и обозначается <tex>H(A|B)</tex>}} <tex>H(A|B)= - \sum\limits_{i=1}^{m}p(b_i)− \sum\limits_frac{j=1k}^{n} p(a_j|b_i)\log_2p(a_j|b_i) </tex>{{Определение|definition = '''Взаимная энтропия''' (англ. ''joint entropy'') {{---}} энтропия объединения двух событий <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. }}<tex> H(A \cap B) = -\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j \cap b_i)\log_2p(a_j \cap b_i) </tex>{{Утверждение|statement= <tex> H(A \cap B) = H(A|B)+H(B)=H(B|A)+H(A) </tex>|proof= По формуле условной вероятности <tex dpi="130"> p(a_j|b_i)=\dfrac{p(a_j \cap b_i)}{p(b_i)} </tex>

<tex dpi="140"> = H(A \cap B) +\sum\limits_{iquad A_n =1}^{m} \log_2p(b_i)\sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j \cap b_i) = H(A exists t : \cap B) +quad \sum\limits_{i=1}^{m} \log_2p(b_i)p(b_i) xi_t = 0 </tex>, <tex dpi="140">H(A \cap B) - H(Bquad \forall t: \quad \xi_t ∈ [0, n) \}</tex>равна

Таким образом получаем, что: <tex> H\quad p_{k0} = \begin{cases} \frac{((A \cap Bq/p)= H^k − (A|Bq/p)+H^n)}{(B1 − (q/p) ^n)}, &\text{если p≠q}\\1 − k/n, &\text{если p=0.5} \end{cases}</tex>

Аналогично: События <tex>A_n</tex> вложены последовательно друг в друга*<tex>H(B \cap A)= H(B|A)+H(A) quad A_1 ⊂ A_2 ⊂ · · · ⊂ A_n ⊂ . . . ,</tex>

*<tex>p_k =\lim_{n\to\infty}P(A) = См. также =\lim_{n\to\infty}p_{k0}=*[[Вероятностное пространство\begin{cases} (\frac{q}{p})^k, элементарный исход &\text{если q меньше p}\\1, событие|Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]&\text{если q≥p}*[[Условная вероятность|Условная вероятность]] \end{cases}</tex>

[[Категория: Теория вероятности ]]