Получение следующего объекта

Алгоритм

Определение:

Получение следующего объекта — это нахождение объекта, следующего за данным в лексикографическом порядке.

Объект [math]Q[/math] называется следующим за [math]P[/math], если [math]P \lt Q[/math] и не найдется такого [math]R[/math], что [math]P \lt R \lt Q[/math].

Отсюда понятен алгоритм:

• находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта [math]P[/math],
• к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило [math]P \lt Q[/math]),
• дописываем минимальный возможный хвост.

По построению получаем, что [math]Q[/math] — минимально возможный.

Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора

• Находим минимальный суффикс, в котором есть [math]0[/math], его можно увеличить, не меняя оставшейся части
• Вместо [math]0[/math] записываем [math]1[/math]
• Дописываем минимально возможный хвост из нулей

int[] nextVector(int[] a): // [math]n[/math] — длина вектора
  while (n >= 0) and (a[n] != 0)
      a[n] = 0
      n--
  if n == -1
    return null
  a[n] = 1
  return a

Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.

Пример работы

0	1	0	1	1	исходный битовый вектор
				^	начинаем идти с конца
0	1	0	0	0	пока элементы равны 1, заменяем их на 0
0	1	1	0	0	меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
0	1	1	0	0	следующий битовый вектор

Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки

• Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
• Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
• Перевернем правую часть

int[] nextPermutation(int[] a): // [math]n[/math] — длина перестановки
  for i = n - 2 downto 0
    if a[i] < a[i + 1]
      min = i + 1;
      for j = i + 1 to n - 1
        if (a[j] < a[min]) and (a[j] > a[i])
          min = j
      swap(a[i], a[min])
      reverse(a, i + 1, n - 1)
      return a
  return null 

Пример работы

1	3	2	5	4	исходная перестановка
		^			находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
				^	минимальный элемент больше нашего
1	3	4	5	2	меняем их местами
1	3	4	2	5	разворачивам правую часть
1	3	4	2	5	следующая перестановка

Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки

• Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
• Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
• Переворачиваем правую часть.

int[] nextMultiperm(int[] b):  // [math]n[/math] — длина мультиперестановки
    i = n - 2
    while (i >= 0) and (b[i] >= b[i + 1]) 
      i--
    if i >= 0 
      j = i + 1
      while (j < n - 1) and (b[j + 1] > b[i]) 
        j++
      swap(b[i] , b[j])
      reverse(b, i + 1, n - 1)
      return b
    else
      return null

Пример работы

1	2	3	1	2	3	Исходная перестановка.
				^		Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
					^	Минимальный элемент больше нашего.
1	2	3	1	3	2	Меняем их местами.
1	2	3	1	3	2	Следующая мультиперестановка.

Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания

• Добавим в конец массива с сочетанием [math]N+1[/math] – максимальный элемент.
• Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на [math]2[/math] и больше.
• Увеличим найденный элемент на [math]1[/math], и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.

int[] nextChoose(int[] a, int n, int k): // [math]n,k [/math] — параметры сочетания
  for i = 0 to k - 1 
    b[i] = a[i]
  b[k] = n + 1
  i = k - 1
  while (i >= 0) and (b[i + 1] - b[i] < 2) 
    i--
  if i >= 0 
     b[i]++
     for j = i + 1 to k - 1 
       b[j] = b[j - 1] + 1
     for i = 0 to k - 1 
       a[i] = b[i]
     return a
  else
    return null

Пример работы

1	2	5	6	7	Дописываем 7 в конец сочетания.
1	2	5	6	7
	^				Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
1	3	5	6	7	Увеличиваем его на 1.
1	3	4	5	6	Дописываем минимальный хвост.
1	3	4	5		Следующее сочетание.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые

Рассматриваемый алгоритм находит следующее разбиение на слагаемые, при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.

• Увеличим предпоследнее слагаемое на [math]1[/math], уменьшим последнее слагаемое на [math]1[/math].
  • Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
  • Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое [math]s[/math] на два слагаемых [math]a[/math] и [math]b[/math] таких, что [math]a[/math] равно предпоследнему слагаемому, а [math]b = s - a[/math]. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

// [math]b[/math] — список, содержащий разбиение данного числа [math]b.size[/math]— его размер 
list<int>  nextPartition(list<int> b): 
   b[b.size - 1]--
   b[b.size - 2]++
   if b[b.size - 2] > b[b.size - 1] 
      b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
      b.remove(b.size - 1)
   else
     while b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1] 
       b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
       b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
   return b

Пример работы

1	1	7			Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
1	2	6			Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
1	2	2	4
1	2	2	2	2
1	2	2	2	2	Следующее разбиение на слагаемые числа 9.

1	4	5	Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
1	5	4	Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
1	9	4	Удалим последний элемент.
1	9		Следующее разбиение на слагаемые числа 10.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:[math]N_n = \{1, 2, ..., n\}[/math]

Упорядочим все разбиения на множества [math]N_n[/math] лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество [math] A \subset N_n [/math] лексикографически меньше подмножества [math] B \subset N_n [/math] , если верно одно из следующих условий:

• существует [math]i[/math] такое, что [math]i \in A[/math] , [math]i \notin B[/math], для всех [math]j \lt i: j \in A[/math] если и только если [math]j \in B[/math] , и существует [math]k \gt i[/math] такое что [math]k \in B[/math];
• [math] A \subset B [/math] и [math]i \lt j[/math] для всех [math]i \in A[/math] и [math]j \in B[/math] \ [math] A [/math].

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение [math]N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k[/math] лексикографически меньше разбиения [math]N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l[/math] если существует такое [math]i[/math], что [math]A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i \lt B_i[/math].

Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:

• Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение [math] \{1, 2, 3\} ~ \{4, 5\}[/math] будет выглядеть так:

1	2	3
4	5

• Будем поддерживать массив удалённых элементов — элементы, которые затем нужно будет вернуть в разбиение.

• Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
  • Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и нужно завершить цикл.
  • Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой-то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассматривать элементы:
    • Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым — мы нашли следующее разбиение, завершаем оба цикла и выполняем алгоритм дальше. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества — в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем выписать удаленные элементы так, чтобы получилось корректное разбиение.
    • Если заменить текущий элемент каким-то из удалённых нельзя, то следует удалить и этот.
• Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.

list<list<int>> nextSetPartition(list<list<int>> a):
  used = list<int>
  // a — список, содержащий подмножества
  // used — список, в котором мы храним удаленные элементы
  fl = false
  for i = a.size - 1 downto 0
    if (used.size != 0) and (max(used) > a[i][-1])   // в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.
      m = минимум из used строго больше a[i][-1]
      a[i].add(m)   //добавляем
      used.remove(m)
      break
    for j = a[i].size - 1 downto 0
      if (used.size != 0) and (j != 0) and (max(used) > a[i][j])   //если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний
        m = минимум из used строго больше a[i][-1]
        old = a[i][j]
        a[i][j] = m   //заменяем
        used.remove(m)
        used.add(old)
        fl = true
        break
      else
        used.add(a[i][-1])
        a[i].pop()
        if a[i].size == 0
          a.pop()
     if fl 
       break
  //далее выведем все удалённые, которые не выбрали
  sort(used)
  for i = 0 to used.size - 1
     a.add(list<int>(used[i]))   //добавляем лексикографически минимальных хвост
  return a

Пример работы

Рассмотрим следующее разбиение:

1	2	3
4	5

1 Шаг:

1	2	3
4	5
	^		Удалили элемент 5.
			Удалённые элементы

2 Шаг:

1	2	3
4
^			Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
5			Удалённые элементы

3 Шаг:

1	2	3	4
			^	Дополнили первое подмножество элементом 4
5				Удалённые элементы

4 Шаг:

1	2	3	4
5				Дописали лексикографически минимальный хвост
				Удалённые элементы

См.также

• Получение предыдущего объекта
• Получение объекта по номеру
• Получение номера по объекту

Источники информации

• Визуализатор перестановок
• Пример компактного кода для перестановок (С++)