Изменения

Рассмотрим неориентированный невзвешенный [[Основные определения теории графов|граф]] <tex> G =\langle V, E \rangle </tex>, где <tex>V </tex> {{---}} множество [[Основные определения теории графов| вершин]], <tex>E </tex> {{Определение---}} множество [[Основные определения теории графов|рёбер]]. Требуется найти в нём максимальное паросочетание. Приведём пример, на котором [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|definition= Соцветие алгоритм Куна]] работать не будет. Рассмотрим граф <tex>BG</tex> графа с множеством вершин <tex>GV=(V{1,2,3,E)4} </tex> , и множеством рёбер {{- цикл, состоящий из --}}<tex>2k + E={\langle 1,2 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 3, 1\rangle, \langle 2, 4 \rangle}</tex> ребери пусть ребро <tex>\langle 2, 3\rangle</tex> взято в паросочетание. Тогда при запуске из которых только вершины <tex>k1</tex> входят , если обход пойдёт сначала в соцветие вершину <tex>B2</tex>.}}{{Определение|definition= Cжатие соцветия - граф , то он зайдёт в тупик в вершине <tex>G'3</tex>, полученный из вместо того чтобы найти увеличивающую цепь <tex>G1-3-2-4</tex> сжатием соцветия . Как видно на этом примере, основная проблема заключается в том, что при попадании в одну псевдо-вершину.}}{{Определение|definition= База соцветия - вершина соцветияцикл нечётной длины, обход может пойти по циклу в которую входит ребро не из данного соцветиянеправильном направлении.}}

Пусть даны граф <tex>G</tex>, паросочетание <tex>M</tex> в графе <tex>G</tex> существует соцветие и цикл <tex>Z</tex> длины <tex>2k+1</tex>, содержащий <tex>k</tex> рёбер паросочетания <tex>M</tex> и вершинно непересекающийся с остальными рёбрами из <tex>BM</tex>.Построим новый граф <tex>G'<br /tex> из графа <tex>G</tex>, сжимая цикл <tex>Z</tex>до единичной вершины, при этом все ребра, инцидентные вершинам этого цикла, становятся инцидентными вершине в новом графе. Тогда паросочетание <tex>M -E(Z)</tex>, где <tex>E(z)</tex> {{---}} ребра, инцидентные циклу, является наибольшим в <tex>G'</tex> существует удлиняющий путь тогда и только тогда, когда существует удлиняющий путь М {{---}} наибольшее паросочетание в <tex>G\setminus B</tex>

Пусть граф Предположим, что <tex>M</tex> не является наибольшим паросочетанием в <tex>G'</tex> - граф, полученный тогда в силу [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих_цепях|теоремы о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]] существует увеличивающая относительно <tex>M</tex> цепь <tex>P</tex>. Если <tex>P</tex> не пересекается с <tex>GZ</tex> сжатием соцветия , то цепь является увеличивающей относительно <tex>BM'</tex> и в псевдо-вершину графе <tex>BG'</tex>, а значит, <tex>M'</tex>не может быть наибольшим паросочетанием.Поэтому предположим, что цепь <tex>P<br /tex>пересекается с <tex>Z</tex>. Заметим, что достаточно рассматривать случайхотя бы одна концевая вершина цепи <tex>P</tex> не лежит на <tex>Z</tex>, обозначим её через <tex>u</tex>. Тогда пройдём по цепи <tex>P</tex>, начиная с <tex>u</tex> до первой встречной вершины на <tex>Z</tex>, обозначим её через <tex>v</tex>. Тогда, когда база соцветия при сжатии цикла <tex>Z</tex>, участок <tex>P[u,v]</tex> отобразится на увеличивающую цепь относительно <tex>M'</tex>, то есть <tex>M'</tex> не является свободной вершиной (максимальным паросочетанием, что противоречит нашему предположению. Теперь допустим, что <tex>M'</tex> не принадлежащей является наибольшим паросочетанием в графе <tex>G'</tex>. Обозначим через <tex>N'</tex> паросочетание в <tex>G'</tex>, мощности большей, чем <tex>M'</tex>. Восстановим граф <tex>G</tex>, тогда <tex>N'</tex> будет соответствовать некоторому паросочетанию). В противном случае в базе соцветия оканчивается чередующийся путь чётной длины<tex>G</tex>, начинающийся покрывающему не более одной вершины в свободной вершине<tex>Z</tex>. Прочередовав Следовательно паросочетание вдоль этого пути<tex>N'</tex> можно увеличить, используя <tex>k</tex> рёбер цикла <tex>Z</tex>, мощность паросочетания и получить паросочетание <tex>N</tex>, размера <tex>|N| = |N'|+k > |M'|+k = |M|</tex>, то есть <tex>M</tex> не изменитсяявляется наибольшим паросочетанием в <tex>G</tex>, а база соцветия станет свободной вершинойприходим к противоречию. Таким образом теорема доказана.}} Для простоты описания алгоритма введём некоторые определения.{{Определение|definition= Будем называть '''соцветием''' <tex>B</tex> графа <tex>G</tex> его цикл нечётной длины.

'''Cжатием соцветия''' назовём граф <tex>\RightarrowG'</tex>, полученный из <tex>G</tex> сжатием всего нечётного цикла в одну псевдо-вершину. Все рёбра, инцидентные вершинам этого цикла, становятся инцидентными псевдо-вершине в новом графе.

Пусть путь <tex>P</tex> является удлиняющим в графе <tex>G</tex>. Если <tex>P</tex> не проходит через <tex>B</tex>, то тогда он будет удлиняющим и в графе <tex>G'</tex>. <br />Пусть проходит через <tex>B</tex>. Тогда что путь P представляет собой некоторый путь <tex>P_1</tex>, не проходящий по вершинам <tex>B</tex>, плюс некоторый путь <tex>P_2</tex>, проходящий по вершинам <tex>B</tex> и, возможно, другим вершинам. Но тогда путь <tex>P_1 + B'</tex> будет являться удлиняющим путём в графе <tex>G'</tex>База соцветия''' - вершина соцветия, что и требовалось доказатьв которую входит ребро не из данного соцветия.}}

Пусть путь ==Алгоритм вырезания соцветий==Опишем алгоритм, позволяющий находить максимальное паросочетание для произвольного графа <tex>PG</tex> является удлиняющим путём . Из теоремы Эдмондса понятно, что необходимо рассматривать паросочетание в сжатом графе <tex>G'</tex>. Если <tex>P</tex> не проходит через <tex>B'</tex>, то тогда он будет удлиняющим и где его можно найти, к примеру, при помощи алгоритма [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|Куна]], а после восстанавливать паросочетание в исходном графе <tex>G</tex>. <br />

Рассмотрим отдельно случайОсновную сложность представляют операции сжатия и восстановления цветков. Чтобы эффективно это делать, для каждой вершины необходимо хранить указатель на базу цветка, которому она принадлежит, или на себя в противном случае. Предположим, что для поиска паросочетаний в сжатом графе, мы используем обход в ширину. Тогда на каждой итерации алгоритма будет строиться дерево обхода в ширину, причём путь в нём до любой вершины будет являться чередующимся путём, начинающимся с корня этого дерева. Будем класть в очередь только те вершины, расстояние от корня до которых в дереве путей чётно. Также для каждой вершины, расстояние до которой нечётно, в массиве предков <tex>p[]</tex> необходимо хранить её предка {{---}} чётную вершину. Заметим, когда что если в процессе обхода в ширину мы из текущей вершины <tex>Pv</tex> начинается со сжатого соцветия приходим в такую вершину <tex>B'u</tex>, тчто она является корнем или принадлежит паросочетанию и дереву путей, то обе эти вершины принадлежат некоторому цветку.еДействительно, при выполнении этих условий эти вершины являются чётными вершинами, следовательно расстояние от них до их наименьшего общего предка имеет одну чётность. имеет вид Найдём наименьшего общего предка <tex>lca(B'u, c, ...v)</tex>. Тогда в соцветии вершин <tex>Bu</tex> найдётся соответствующая вершина , <tex>v</tex>, которая связана ребром с который является базой цветка. Для нахождения самого цикла необходимо пройтись от вершин <tex>cu</tex>. Заметим, что из базы соцветия всегда найдётся чередующийся путь чётной длины до вершины <tex>v</tex>до базы цветка. Учитывая всё вышесказанноеВ явном виде цветок сжимать не будем, получаемпросто положим в очередь обхода в ширину все вершины, принадлежащие цветку. Также для всех чётных вершин (за исключением базы) назначим предком соседнюю вершину в цикле, что путь а для вершин <tex>P_1(b,...v,...c,..)u</tex> является увеличивающим путём в графе и <tex>Gv</tex>назначим предками друг друга. Это позволит корректно восстановить цветок в случае, когда при восстановлении увеличивающего пути мы зайдем в нечётную вершину цикла.

==Алгоритм вырезания Всего имеется <tex>V</tex> итераций, на каждой из которых выполняется обход в ширину за <tex>O(E)</tex>, кроме того, могут происходить операции сжатия цветков — их может быть <tex>O(V)</tex>. Сжатие соцветийработает за <tex>O(V)</tex>, то есть общая асимптотика алгоритма составит <tex>O(V(E + V^2)) ==O(V^3)</tex>.

Пусть дан произвольный граф <tex>G(V==Литература==*''Ловас, E)<Пламмер'' '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике и физике'''*[http:/tex> и требуется найти максимальное паросочетание /e-maxx.ru/algo/matching_edmonds Алгоритм Эдмондса нахождения наибольшего паросочетания в нём. <br>произвольных графах]