Участник:Unreal.eugene

Определение:

Случайное блуждание (англ. random walk) — случайный процесс, состоящий из последовательности случайных шагов на каком-нибудь множестве. Обычно рассматриваются случайные блуждания на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ с началом в нуле и с равновероятными шагами либо на $+1$, либо на $-1$.

Определение:

Иногда также может рассматриваться просто блуждание — комбинаторный объект, который появляется как результат случайного блуждания над целочисленной прямой. Блуждание из $n$ шагов можно однозначно задать последовательностью длины $n$, на $i$-й позиции которой стоит либо $+1$, либо $-1$, то есть битовым вектором.

Примеры

Тут когда-нибудь появятся примеры

Пути Дика

Что-то про пути Дика

Свойства

Свойства блужданий

Теорема:

Число различных блужданий длины $n$ равно $2^n$.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для любого блуждания длины $n$ можно взаимно однозначно сопоставить битовый вектор длины $n$. Таким образом, количество различных блужданий длины $n$ равно количеству битовых векторов, а именно [math]2^n[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Число различных блужданий длины $n$, заканчивающихся в целой координате $x$ ([math]|x| \leq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor[/math]), равно [math]\dbinom{n}{\frac{n + x}{2}}[/math], если $n$ и $x$ имеют одинаковую четность, и 0 иначе.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Чтобы блуждание закончилось в координате $x$, нужно, чтобы количество движений на $+1$ было на $x$ больше (на $-x$ меньше) количества движений на $-1$. Ясно, что это невозможно, если координата $x$ имеет не ту же четность, что и $n$, так как в результате любого блуждания из $n$ шагов координата, в которой мы оказываемся в конце, всегда имеет такую же четность, что и $n$. В случае однаковой четности искомое количество равно количеству битовых векторов длины $n$, в которых ровно [math]\frac{n + x}{2}[/math] единиц. Понятно, что все такие битовые вектора можно получить следующим способом: выберем [math]\frac{n + x}{2}[/math] позиций в векторе длины $2n$, на этих позициях расположим значение $1$, а на остальных — значение $0$. Из построения ясно, что количество таких способов по определению равно числу сочетаний [math]\dbinom{n}{\frac{n + x}{2}}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Свойства случайных блужданий

Теорема:

Математическое ожидание квадрата координаты, в которой заканчивается блуждание длины $n$, равно $n$.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Потом.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Математическое ожидание модуля координаты, в которой заканчивается блуждание длины $n$, асимптотически растёт, как [math]\mathcal O(\sqrt n)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Из предыдущей теоремы известно, что [math]E \left[ X_n^2 \right] = n[/math]. По неравенству Йенсена для математического ожидания для выпуклой функции [math]\varphi (x)[/math] выполнено [math]\varphi \left( E \left[ X \right] \right) \leq E \left[ \varphi (X) \right][/math]. Таким образом, взяв [math]X = |X_n|[/math] и [math]\varphi (x) = x^2[/math], получаем [math]E |X_n| \leq \left( E \left[ X_n^2 \right] \right)^{1/2} = \sqrt{n}[/math], а значит [math]E |X_n| = \mathcal O(\sqrt{n})[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Производящие функции

Теорема:

Пусть $w_i$ — количество блужданий длины $2n$, которые оканчиваются в нуле. Тогда верна следующая рекуррентная формула: [math]w_n = 2 \sum\limits_{i = 0}^{n - 1}{w_i C_{n-i-1}}[/math], где $C_i$ — число Каталана.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство очень похоже на вывод формулы для числа путей Дика длины $2n$. Рассмотрим номер шага не равного $2n$, на котором траектория блуждания последний раз заходит в нулевую координату. Пусть эта координата равна $2x$, тогда после этого есть два варианта развития: перемещение либо на $+1$, либо на $-1$. В обоих случаях путь в следующий раз пересечёт нулевую координату только на $2n$-ое пермещение, поэтому при перемещении из координаты $2x$ далее лежит путь Дика длины $2n - 2x - 2$, не заходящий либо левее координаты $1$ (в случае перемещения $+1$), либо правее кординаты $-1$ (в случае перемещения $-1$). Количество путей Дика длины $2n - 2x - 2$ равно $C_{n-x-1}$. Так как у каждого блуждания есть его последняя позиция пересечения нулевой координаты, не равная $2n$, то можно рекурсивно посчитать все блуждания следующим образом: [math]w_n = \sum\limits_{x = 0}^{n - 1}{w_x \cdot 2 C_{n-x-1}} = 2 \sum\limits_{i = 0}^{n - 1}{w_i C_{n-i-1}}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Производящая функция для количества блужданий чётной длины, заканчивающихся в нулевой координате, равна: [math]W(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 4t}}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство через производные можно посмотреть здесь. Далее будет приведено доказательство, использующее реккурентное соотношение из предыдущей теоремы. Реккурентному соотношению из предыдущей теоремы соответствует равенство соответствующих формальных рядов: $W(t) = 1 + 2 t W(t) C(t)$, где $C(t)$ — производящая функция для чисел Каталана. Таким образом, можно выразить $W(t)$: [math]W(t) = \dfrac{1}{1 - 2 t C(t)} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 4 t}}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Производящая функция для количества блужданий, заканчивающихся в некоторой положительной координате $n$ и не заходящих в отрицательную полупрямую, равна: [math]W_n(t) = \dfrac{(1 - \sqrt{1 - 4t^2})^{n+1}}{2^{n+1}t^{n+2}} = t^n C^{n+1}(t^2)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Потом.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Производящая функция для значений $w_{n,m}$ — количества блужданий длины $n$, заканчивающихся в некоторой положительной координате $m$ и не заходящих в отрицательную полупрямую, равна: [math]W(u, v) = \dfrac{C(v^2)}{1 - u v C(v^2)}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Потом.

[math]\triangleleft[/math]