Теорема о декомпозиции

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.

meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Теорема

Теорема (о декомпозиции):

Пусть [math]G = (V, E)[/math] — транспортная сеть, [math]f[/math] — поток в [math]G[/math]. Тогда [math]|f|[/math] можно представить в виде совокупности [math]O(E)[/math] путей из истока в сток и циклов: [math]|f| = \sum\limits_{i=1}^{}c_{i}\cdot f(p_{i}) + \sum\limits_{j=1}^{}d_{j}\cdot f(k_{j})[/math], где [math]p_{i}[/math] — путь из [math]s[/math] в [math]t[/math], [math]k_{j}[/math] — цикл, [math]c_{i}[/math] и [math]d_{j}[/math] — константы.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]s[/math] — исток, [math]t[/math] — сток сети [math]G[/math]. Пусть из [math]s[/math] выходит хотя бы одно ребро с положительным потоком. Пойдем по этому ребру, попадем в вершину [math]v_1[/math]. Если [math]v_1[/math] совпадает с [math]t[/math], то найденный путь является путем из [math]s[/math] в [math]t[/math], иначе по закону сохранения потока для вершины [math]v_1[/math] из неё должно выходить хотя бы одно ребро с положительным потоком в некоторую вершину [math]v_2[/math]. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока [math]v_i[/math] не совпадет с [math]t[/math] (найден путь [math]p_{i}[/math] из [math]s[/math] в [math]t[/math]) либо с одной из ранее посещенных вершин (найден цикл [math]k_{j}[/math]). Данный путь (цикл) будет иметь положительный поток [math]f[/math]([math]p_{i}[/math]) или [math]f[/math]([math]k_{j}[/math]), равный минимальному среди потоков по всем рёбрам пути (цикла). Уменьшая поток каждого ребра этого пути (цикла) на величину [math]f[/math]([math]p_{i}[/math]) или [math]f[/math]([math]k_{j}[/math]), получаем новый поток. Будем продолжать описанный алгоритм до тех пор, пока поток из [math]s[/math] не станет нулевым. Потребуем теперь, чтобы потоки из других вершин стали нулевыми. Для этого повторим поиск циклов вышеописанным способом для других вершин. Итак, поскольку потоки по всем рёбрам равны нулю, то мы получили искомую декомпозицию потока. Заметим, что после поиска одного пути (цикла) поток хотя бы по одному из рёбер обнулится, следовательно, для полного представления потока потребуется не более [math]E[/math] таких операций.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм

Рассмотрим алгоритм, описанный в доказательстве теоремы. Построение декомпозиции потока можно записать с помощью псевдокода (на вход подается сеть [math]G = (V, E)[/math]):

Псевдокод

function simpleDecomposition([math]s[/math]):
    [math] Q = \varnothing[/math]                      // множество пройденных рёбер
    [math] P = \varnothing [/math]                      // множество посещённых вершин
    [math]v = s[/math]
    while [math] v \notin P [/math]
        if [math] v = t [/math]
            break
        edge [math]e = \varnothing[/math]
        for [math]u : (v,u) \in E[/math]
            if [math] f(v,u)\gt 0 [/math]
                [math]e = (v,u)[/math]
                break
        if [math]e = \varnothing[/math]
            return [math]\varnothing[/math]
        [math] Q[/math].push_back([math]e[/math])
        [math] P = P \cup \{v\}[/math]
        [math] v = u [/math]
    if [math]v \in P [/math]                    // нашли цикл, удаляем из [math]Q[/math] все рёбра, найденные до того, как [math]v[/math] была включена в [math]P[/math]
        while ([math]Q[/math].begin.from [math]\neq[/math] [math]v[/math])
            [math]Q[/math].pop_front()
    [math]f(Q) = f(Q)[/math] - [math]\min\limits_{(u,v) \in Q}f(u,v) [/math]
    return [math](f, Q)[/math]

function fullDecomposition():
    [math] d = \varnothing [/math]                       // собственно, декомпозиция графа: совокупность подмножеств, которые являются путями/циклами, и их поток
    [math]p = [/math] simpleDecomposition([math]s[/math])  // один из путей/циклов в графе и его поток
    while ([math]p \neq \varnothing[/math])
        [math] d = d \cup p [/math]
        [math]p = [/math] simpleDecomposition([math]s[/math])
    for [math] u \in V [/math]
        [math]p = [/math] simpleDecomposition([math]u[/math])
        while ([math]p \neq \varnothing[/math])
            [math] d = d \cup \{p\} [/math]
            [math]p = [/math] simpleDecomposition([math]u[/math])
  return [math]d[/math]

Анализ работы алгоритма

Утверждение:

Время работы алгоритма поиска декомпозиции потока, описанного выше, равно [math]O(VE)[/math].

[math]\triangleright[/math]

Действительно, каждый путь (цикл) содержит не более [math]V[/math] вершин, следовательно, поиск пути (цикла) работает за [math]O(V)[/math]. Т. к. декомпозиция потока содержит [math]O(E)[/math] путей, то всего в ходе алгоритма при рассмотрении всех вершин будет осуществлено [math]O(E)[/math] поисков путей (циклов) (в остальных случаях в силу отсутствия потока через вершину поиск пути вызываться не будет). Итого суммарное время работы составит [math]O(VE)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Источники

• Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin — Network flows — Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, New Jersey, 1993.