Лексикографический порядок

Определение:

Пусть даны две последовательности [math] ~A = a_1 a_2 \dots a_n [/math] и [math] ~B = b_1 b_2 \dots b_m [/math] Тогда последовательность [math] ~A [/math] лексикографически меньше (англ. lexicographically less) последовательности [math] ~B [/math], если выполняется одно из двух условий: [math] n \lt m [/math] и при этом [math] a_i = b_i [/math] для всех [math]i \in [1 .. n] [/math], [math] \exists k\leqslant \min(n, m): a_k \lt b_k [/math] и при этом [math] \forall j : j \lt k ~a_j = b_j [/math].

Приведем псевдокод сравнения последовательностей из элементов множества Т:

function compare(A, B : list <T>): Ord  // Возвращает "LT", если A < B, "GT", если A > B, или "EQ", если последовательности равны
  for i = 1 to min(len(A), len(B)) 
    if A[i] < B[i]                      // i-й элемент А меньше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны
      return LT
    if A[i] > B[i]                      // i-й элемент А больше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны
      return GT
  if len(A) < len(B)                    // А — префикс В, но не равна ей
    return LT
  if len(A) > len(B)                    // В — префикс А, но не равна ей
    return GT
  return EQ                             // Длины последовательностей и все элементы равны

Определение:

Последовательности записаны в лексикографическом порядке (англ. lexicographical order), если для любых [math] i\lt j [/math] выполняется неравенство [math] S_i\lt S_j [/math], где [math] S_i [/math] и [math] S_j [/math] последовательности с номерами [math] i [/math] и [math] j [/math].

Например, слово "сон" лексикографически меньше слова "сонный", так как оно является его префиксом. Слово "низ" лексикографически меньше слова "нос", поскольку первые символы совпадают, а второй символ первого слова меньше, чем второй символ второго.

Примеры

• Перестановки (светло-фиолетовым выделен общий префикс, темно-фиолетовым первый отличный элемент, так как [math]4 \lt 6[/math], то первая перестановка лексикографически меньше)

• Сочетания (так как [math]4 \lt 6[/math], то первое сочетание лексикографически меньше)

• Разбиение на слагаемые (так как [math]4 \lt 9[/math], то первое разбиение на слагаемые лексикографически меньше)

• Последовательность чисел в любой системе счисления, записанных в фиксированной разрядной сетке ([math]000[/math], [math]001[/math], [math]002[/math], [math]003[/math], [math]004[/math], [math]005[/math], [math]\dots[/math], [math]999[/math]).
• Порядок слов в словаре. Предполагается, что буквы можно сравнивать, сравнивая их номера в алфавите. Тогда лексикографический порядок — это, например, [math]AAA[/math], [math]AAB[/math], [math]AAC[/math], [math]AAD[/math], [math]\dots[/math], [math]ZZZ[/math].
• Эти слова тоже записаны в лексикографическом порядке: [math]airport[/math], [math]duck[/math], [math]horse[/math], [math]house[/math], [math]sleep[/math].

См. также

• Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке
• Получение предыдущего объекта
• Получение следующего объекта

Источники информации

• Wikipedia — Lexicographical order
• Википедия — Лексикографический порядок