Неравенство Бернштейна

<<>>

Эта статья находится в разработке!

[math]T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx)[/math]

Теорема (Бернштейн):

[math]\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T(x)|[/math]. Константу [math]n[/math] уменьшить нельзя

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]T_n = \sin nx \Rightarrow T'_n = n \cos nx[/math]. Здесь [math]n[/math] уменьшить нельзя. Так как это неравенство понадобится для так называемых обратных задач теории приближений, то мы приведём доказательство более грубого неравенства, но порядок константы будет тот же самый: вместо [math]n[/math] будет [math]2n[/math]. Доказательство классического неравенства более трудное. Однако, наше можно доказать, используя [math]L_p[/math]. Основываемся на том, что тригонометрический полином — ряд Фурье самого себя. Запишем его через интеграл Дирихле. [math]T_n(x) = \int\limits_Q T_n(t)D_n(x-t) dt = \int\limits_Q T_n(t)D_n(t-x)dt[/math] Дифференцируем по [math]x[/math]. Интеграл дифференцировать можно, так как промежуточный интеграл конечен, а под интегралом — тригонометрический полином. [math]T'_n(x) = -\int\limits_Q T_n(t)D'_n(t-x) dt = \int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t)dt[/math] [math]T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t) D'_n(t) dt[/math] [math]D_n(t) = \frac1\pi\left(\frac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right)[/math] [math]D'_n(t) = -\frac1\pi \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt[/math] Воспользуемся ортогональностью тригонометрической системы. Принимая по внимание то, что под знаком интеграла полином степени не выше [math]n[/math]: [math]G(t) = \sum\limits_{k=n+1}^pc_k\cos kt + d_k\sin kt[/math] [math]\int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t) dt[/math] [в силу ортогональности] [math]=\int\limits_Q T_n(x+t)(D'_n(t)-G(t)) dt[/math] Вспомним об ядре Фейера [math]\Phi_n(t) = \frac1{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)[/math] [math]= \frac1{\pi(n+1)}\left(\frac12 + \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^k \cos jt \right) \right)[/math] [math]= \frac1{\pi(n+1)} \left( \frac{n+1}2 + \sum\limits_{j=1}^n \cos jt \sum\limits_{k=j}^n 1 \right) [/math] [math]= \frac1{\pi(n+1)} \left(\frac{n+1}2 + \sum\limits_{j=1}^n (n-j+1)\cos jt\right)[/math] [math]= \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n \left(1 - \frac{j}{n+1}\right) \cos jt[/math] Итого: [math]\Phi_n(t) = \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n\left(1-\frac{j}{n+1}\right)\cos jt[/math] [math]G(t) = \frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)t[/math] Это тот полином, который можно подставить в интеграл. [math]T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)(-\frac1\pi)\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt[/math] [math]= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt[/math] [math]= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin nt + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt \cdot \cos (n-k)t\right) dt[/math] [math]= -\int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt[/math] [math]=-\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt[/math] Итого: [math]T'_n(x) = -2n\int\limits_QT_n(x+t)\sin nt \Phi_{n-1}(t)dt[/math] [math]\Phi_n[/math] — неотрицательное и нормированное. [math]\|f\|_\infty = \max\limits_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\|f(t + x)\|_\infty = \|f(t)\|_\infty[/math], [math]\|f\|_\infty[/math] не зависит от [math] x [/math]. [math]|\sin nt| \lt 1[/math], [math]\|T'_n\| \le 2n \|T_n\| \cdot \int\limits_Q\Phi_n(t)dt = 2n\|T_n\|[/math] Ослабленное неравенство Бернштейна установлено.

[math]\triangleleft[/math]

<<>>