Ковариантность и контравариантность

Теорема:

[math]e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)[/math]; [math]e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)[/math], где [math]\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]{\{e^i\}}_{i=1}^n[/math] - базис [math]E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}[/math](разложение единственно) Тогда [math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}[/math] (т.к. [math]\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j[/math]) [math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}[/math], т.е [math]g_{kj}=\alpha_{kj}[/math] Переход от [math](2)[/math] к [math](1)[/math] производится путём умножения на обратную матрицу: [math]G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}[/math] - и приходим к равенству [math](1)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Ковариантные и Контрвариантные векторы в E

пусть [math]x =! \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i[/math] и [math]x =! \sum\limits_{k=1}^n \xi_k e^k[/math]

Лемма (1):

[math]\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k \ (3)[/math] [math]\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k \ (4)[/math] здесь [math]g_{ki}[/math] и [math]g^{ik}[/math] - метрический тензор

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k[/math] [math]\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k =^{(1)} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k (\sum\limits_{i=1}^n g^{ki} e_i) = \sum\limits_{i=1}^n ( \sum\limits_{k=1}^n \xi_k g^{ki}) e_i[/math] [math]\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k[/math] аналогично [math](4)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Далее — [math]E[/math] над [math]R[/math]

[math] g_{ik} = g_{ki} \Rightarrow \xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k \ ( \tilde{3})[/math]

[math] g^{ik} = g^{ki} \Rightarrow \xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k \ ( \tilde{4})[/math]

Определение:

[math]\{ \xi^1 \cdots \xi^n\}[/math] — координаты вектора [math]x[/math] в базисе [math] \{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называются КОНТРвариантными. [math]\{ \xi_1 \cdots \xi_n\}[/math] — координаты вектора [math]x[/math] в базисе [math] \{e^i\}_{i=1}^{n}[/math] называются КОвариантными.

Определение:

Операция ковариантных координат на контрвариантные в соответствии с [math](\tilde{3})[/math] называется операцией поднятия индекса координаты.

Определение:

Операция контрвариантных координат на ковариантные в соответствии с [math](\tilde{4})[/math] называется операцией опускания индекса координаты.

Рассмотрим [math]g^{ik} \xi_e [/math] — свертка к [math]\xi^{i}[/math] (валентность — [math](2,1)[/math])

Рассмотрим [math]\omega^{ik}_l = \omega^{ik.}_{..l}[/math]

Тогда: 1) [math]\omega^{.k.}_{i.l} = g_is \omega^{sk.}_{..l}[/math]

2) [math]\omega^{ikl}_{...} = g^{lt} \omega^{ik.}_{..t}[/math]

NB: Если [math]g_{ik} = g^{ik} = \delta^i_k[/math] и [math]G = G^{-1} = E \Rightarrow[/math]

1) [math] \langle x;y \rangle = \sum\limits_{i=1}^n \xi^i \eta^i [/math]

2) [math] \xi^i = \xi_i ; \ e^i = e_i[/math]

Теорема:

пусть [math] x = \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^k e_k [/math] [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] и [math]\{f_i\}_{i=1}^{n}[/math] - сопряженные базисы [math]g_{ik}[/math] - метрический тензор тогда [math]Gx = \sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_{ki} f^i[/math], где [math]Gx,f^i \in E^{*}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]Gx = G(\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k e_k) = \sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k Ge_k =^{(2)} \sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k G(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{ki}e^{i}) = \sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k(\sum\limits_{i=1}^{n} g_{ki}Ge^i) = \sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_ki f^i[/math]

[math]\triangleleft[/math]