Группы. Действие группы на множестве

Определение:

Группа [math]G[/math] действует на множестве (англ. acts on a set) [math]X[/math], если задано отображение [math]G \times X \rightarrow X[/math] (обозначается [math]g \cdot x[/math]), такое что для любого [math]x \in X[/math], а также для любых [math]g_1, g_2 \in G[/math] оно обладает свойствами: [math](g_1 \circ g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x)[/math] (здесь [math]g_1 \circ g_2[/math] — групповая операция) [math]e \cdot x = x[/math]

Эквивалентность по группе

Определение:

Пусть группа [math]G[/math] действует на множестве [math]X[/math]. Введем на [math]X[/math] отношение эквивалентности [math]\sim[/math] для [math]x, y \in X[/math]: [math]x \sim y[/math], если [math]\exists g \in G : x = g \cdot y[/math]. Тогда, если [math]x \sim y[/math], то говорят, что [math]x[/math] и [math]y[/math] равны с точностью до группы.

Утверждение:

Отношение [math]\sim[/math] является отношением эквивалентности.

[math]\triangleright[/math]

Рефлексивность. Для любого [math]x \in X[/math] верно [math]x = e \cdot x[/math], значит [math]x \sim x[/math]. Симметричность. Пусть [math]x \sim y[/math] для некоторых [math]x, y \in X[/math]. Тогда существует [math]g \in G[/math], такое что [math]x = g \cdot y[/math]. Пользуясь свойствами групп, получаем следующие равенства: [math]g^{-1} \cdot x = g^{-1} \cdot (g \cdot y) = (g^{-1} \cdot g) \cdot y = e \cdot y = y[/math]. То есть [math]g^{-1} \cdot x = y[/math]. Значит, [math]y \sim x[/math]. Транзитивность. Пусть [math]x \sim y[/math] и [math]y \sim z[/math] для некоторых [math]x, y, z \in X[/math]. Тогда существуют такие [math]g_1, g_2 \in G[/math], что [math]x = g_1 \cdot y[/math], а [math]y = g_2 \cdot z[/math]. Отсюда следует, что [math]x = g_1 \cdot (g_2 \cdot z) = (g_1 \cdot g_2) \cdot z[/math]. То есть, [math]x \sim z[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Орбита и стабилизатор

Определение:

Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Тогда орбитой (англ. orbit) элемента [math]x \in X[/math] называется множество: [math]Orb(x) = \{y \in X \mid \exists g \in G : g \cdot x = y\}[/math]. Множество всех орбит обозначается так: [math]X/G[/math].

Иными словами, орбитой элемента множества [math]X[/math] в группе [math]G[/math] называется порожденный им класс эквивалентности по отношению [math]\sim[/math]. Задача подсчета количества классов эквивалентности является нетривиальной и решается в общем случае при помощи Леммы Бёрнсайда.

Определение:

Элемент [math]x \in X[/math] называется неподвижной точкой (англ. fixed point) элемента [math]g \in G[/math], если [math]g \cdot x = x[/math]

Определение:

Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Тогда стабилизатором (англ. stabilizer) элемента [math]g \in G[/math] называется множество его неподвижных точек: [math]St(g) = \{x \in X \mid g \cdot x = x\}[/math]

Далее приведены несколько несложных и полезных на практике утверждений.

Утверждение:

[math]Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y)[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow \exists g_1, g_2 \in G : g_1 \cdot x = g_2 \cdot y \Rightarrow x = g_1^{-1} \cdot (g_2 \cdot y) = (g_1^{-1} \cdot g_2) \cdot y \Rightarrow x \in Orb(y)[/math] Заметим, что [math]\forall g \in G: g \cdot x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y)[/math] Аналогично доказывается, что [math]Orb(y) \subseteq Orb(x)[/math] Таким образом, [math]Orb(x) = Orb(y)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

[math]\sum\limits_{x \in X} |\{g \in G \mid g \cdot x = x \}| = \sum\limits_{g \in G} |St(g)|[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]\sum\limits_{x \in X} |\{g \in G \mid g \cdot x = x \}| = \sum\limits_{x \in X} \sum\limits_{g \in G} \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{если $g \cdot x = x$}\\ 0 & \textrm{иначе} \end{array} \right. = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{x \in X} \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{если $g \cdot x = x$}\\ 0 & \textrm{иначе} \end{array} \right. = \sum\limits_{g \in G} |St(g)|[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

В качестве примера рассмотрим ожерелья, состоящие из [math]6[/math] бусин, которые бывают красного и черного цвета. Таким образом, множество [math]X[/math] — это множество всевозможных ожерелий из [math]6[/math] бусин, окрашенных в один из двух цветов. Теперь введем группу [math]G[/math], в которой будет [math]6[/math] элементов: [math]g_0, g_1, \dots g_5[/math], где [math]g_i[/math] будет означать поворот ожерелья на угол [math]\dfrac{2\pi i}{6}[/math] против часовой стрелки.

Ожерелье [math]x[/math]

Ожерелье [math]g_1 \cdot x[/math]

Таким образом, правое ожерелье получено из левого путем действия на него элементом [math]g_1[/math]. Из этого следуют, что левое и правое ожерелья равны с точностью до группы [math]G[/math], а значит они находятся в одном классе эквивалентности.

Теперь в качестве примера рассмотрим орбиту левого ожерелья — все элементы множества [math]X[/math], полученные из элемента [math]x[/math] путем поворотов на [math]6[/math] различных углов.

Ожерелье [math]g_0 \cdot x[/math]

Ожерелье [math]g_1 \cdot x[/math]

Ожерелье [math]g_2 \cdot x[/math]

Ожерелье [math]g_3 \cdot x[/math]

Ожерелье [math]g_4 \cdot x[/math]

Ожерелье [math]g_5 \cdot x[/math]

См. также

• Теорема Кэли
• Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа
• Задача об ожерельях

Источники информации

• Wikipedia | Действие группы
• Wikipedia | Group action
• Теория групп
• MAXimal::algo::Лемма Бернсайда. Теорема Пойа