K-связность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 32 промежуточные версии 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
Связность - одна из топологических характеристик графа.
+
<tex>k</tex>-cвязность {{---}} одна из топологических характеристик графа.
−
 
 
−
 
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id=def_1
 
|definition=
 
|definition=
−
Граф называется '''<tex>k</tex> - вершинно связным''', если удаление любых <tex> (k - 1) </tex> вершин оставляет граф связным.  
+
Граф называется '''вершинно  <tex>k</tex>-связным''', если удаление любых <tex> (k - 1) </tex> вершин оставляет граф связным.
 
}}
 
}}
  
−
Вершинной связностью графа называется
+
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Вершинной связностью]] графа называется
−
<tex> \varkappa (G) = \max  \{ k |  G </tex> вершинно <tex> k </tex> - связен  <tex> \} </tex>.
+
<tex> \varkappa (G) = \max  \{ k \mid G </tex> вершинно <tex>k</tex>-связен  <tex> \} </tex>, при этом для полного графа полагаем <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.
−
 
 
−
Полный граф <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id=def_2
 
|definition=
 
|definition=
−
Граф называется '''<tex> l </tex> - реберно связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.
+
Граф называется '''реберно <tex>l</tex>-связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.  
 
}}
 
}}
  
−
Реберной связностью графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{ l | G </tex> реберно <tex> l </tex> - связен <tex> \} </tex>
+
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Реберной связностью]] графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{ l \mid G </tex> реберно <tex>l</tex>-связен <tex> \} </tex>, для тривиального графа считаем <tex> \lambda (K_1) = 0 </tex>.
 +
 
  
−
При <tex> n = 1,  \lambda (K_1) = 0 </tex> .
+
==k-связность и непересекающиеся пути между вершинами==
  
−
{{Теорема
+
Рассмотрим граф <tex> G </tex> и вершины <tex> u </tex> и  <tex> v </tex>.
  
−
|statement=  <tex> \varkappa (G) \leqslant  \lambda (G) \leqslant \sigma (G) </tex> , где  <tex> \sigma(G) </tex> - минимальная степень вершин графа <tex> G </tex>
+
Пусть <tex> S </tex> {{---}} множество вершин/ребер/вершин и ребер.
−
|proof=
 
−
<tex> \lambda (G) \leqslant \sigma (G) </tex> - очевидно.
 
  
−
Рассмотрим граф <tex> \lambda (G)  = l </tex>.
+
<tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, если <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \setminus S </tex>, который получается удалением элементов множества <tex> S </tex> из <tex> G </tex>.
−
Покажем, что можем удалить l вершин и сделать граф несвязным.
 
  
−
Выберем вершину из правой компоненты.Тогда возможны варианты:
+
Из теоремы [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|теоремы Менгера для вершинной <tex>k</tex>-связности]] имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
−
1)Все <tex> l </tex> рёбер инцидентны вершине.Тогда:
 
−
  1.1)Если вершина не единственна - удаляем вершину.
 
−
  1.2)Если вершина единственная, тогда
 
−
    1.2.1)Во второй компоненте <tex> l </tex> вершин - (??)
 
−
    1.2.2)Удаляем её.
 
−
2)Возьмем вершину во второй компоненте.Удалим у ребер, инцидентных с этими двумя вершинами, все левые концы, а у остальных - все правые концы.
 
  
 +
Отсюда непосредственно следует:
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Граф <tex> G </tex>  является '''вершинно  <tex>k</tex>-связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями.
 
}}
 
}}
  
−
{{Определение
+
Подобная теорема справедлива и для реберной связности. То есть из [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|''теоремы Менгера для реберной <tex>k</tex>-связности'']] следует:
−
|definition=
+
 
−
Множество <tex>S</tex> вершин, ребер или вершин и ребер '''разделяет''' <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, если <tex>u</tex> и <tex>v</tex> принадлежат различным [[Отношение_связности,_компоненты_связности| компонентам графа]] <tex>G \setminus S</tex>
+
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Граф  <tex> G </tex> является '''реберно  <tex>l</tex>-связным''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>l</tex>-реберно непересекающимися путями.
 
}}
 
}}
  
−
{{Определение
+
==См. также==
−
|definition=
+
* [[Теорема Менгера]]
−
Говорят, что вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> <tex>k</tex>'''-разделимы''', если минимальная мощность множества, разделяющего <tex>u</tex> и <tex>v</tex> равна <tex>k</tex>
+
* [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
−
}}
+
 
 +
==Источники информации==
  
−
Многие утверждения для связных графов можно обобщить для случая <tex>k</tex>-связности, однако аналог тривиального утверждения часто оказывается содержательным. Простейший пример - [[Теорема Менгера]], утверждение которой для <math>k=1</math> тривиально.
+
* Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
 +
* Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
 +
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория:Связность в графах]]
 +
{{Заголовок со строчной буквы}}

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

[math]k[/math]-cвязность — одна из топологических характеристик графа.

Определение:
Граф называется вершинно [math]k[/math]-связным, если удаление любых [math] (k - 1) [/math] вершин оставляет граф связным.


Вершинной связностью графа называется [math] \varkappa (G) = \max \{ k \mid G [/math] вершинно [math]k[/math]-связен [math] \} [/math], при этом для полного графа полагаем [math] \varkappa (K_n) = n - 1 [/math].


Определение:
Граф называется реберно [math]l[/math]-связным, если удаление любых [math] (l - 1) [/math] ребер оставляет граф связным.


Реберной связностью графа называется [math] \lambda(G) = \max \{ l \mid G [/math] реберно [math]l[/math]-связен [math] \} [/math], для тривиального графа считаем [math] \lambda (K_1) = 0 [/math].


k-связность и непересекающиеся пути между вершинами

Рассмотрим граф [math] G [/math] и вершины [math] u [/math] и [math] v [/math].

Пусть [math] S [/math] — множество вершин/ребер/вершин и ребер.

[math] S [/math] разделяет [math] u [/math] и [math] v [/math], если [math] u [/math] и [math] v [/math] принадлежат разным компонентам связности графа [math] G \setminus S [/math], который получается удалением элементов множества [math] S [/math] из [math] G [/math].

Из теоремы теоремы Менгера для вершинной [math]k[/math]-связности имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины [math] u [/math] и [math] v [/math], равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих [math] u [/math] и [math] v [/math].

Отсюда непосредственно следует:

Утверждение:
Граф [math] G [/math] является вершинно [math]k[/math]-связным [math]\Leftrightarrow [/math] любая пара его вершин соединена по крайней мере [math]k[/math] вершинно непересекающимися путями.

Подобная теорема справедлива и для реберной связности. То есть из теоремы Менгера для реберной [math]k[/math]-связности следует:

Утверждение:
Граф  [math] G [/math] является реберно [math]l[/math]-связным [math]\Leftrightarrow [/math] любая пара его вершин соединена по крайней мере [math]l[/math]-реберно непересекающимися путями.

См. также

Источники информации

  • Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
  • Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=K-связность&oldid=84371»