Теорема Менгера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(небольшое форматирование)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 33 промежуточные версии 10 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
{{Теорема
+
Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''<tex>k</tex>-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную <tex>k</tex>-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную <tex>k</tex>-связность'' и  ''вершинно непересекающиеся пути''.
−
|about=
 
−
Теорема Менгера для вершинной k связности
 
−
|statement=
 
−
Наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины s и t, равно наибольшему числу непересекающихся простых (s-t) цепей
 
−
|proof=
 
  
−
Очевидно, что если k вершин разделяют s и t, то сущесвует не более k непересекающихся простых (s-t) цепей.
+
==Подготовка к доказательству==
−
Теперь покажем, что если k вершин графа разделяют s и t, то существует k непересекающихся простых (s-t) цепей. Для k=1 это очевидно.
+
Для доказательства мы будем пользоваться развитой раннее [[Определение сети, потока|теорией потоков]]. Кроме базовых определений нам потребуется понятие [[Дополняющая сеть, дополняющий путь| остаточной сети]] (иначе {{---}} дополнительной сети), а также [[Теорема_Форда-Фалкерсона|теорема Форда-Фалкерсона]].
−
Пусть, для некоторого <math>k>1</math> это неверно. Возьмем h - наименьшее такое k и F - граф с наименьшим числом вершин, для которого при выбранном h теорема не верна. Будем удалять из F ребра, пока не получим G такой, что в G s и t разделяют h вершин, а в <math>G-x</math> <math>h-1</math> вершина, где x - произвольное ребро графа G.
 
  
 +
Кроме того, потребуется лемма о целочисленности потока, которую сейчас и докажем:
 +
{{Лемма
 +
|about=о целочисленности потока
 +
|statement=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Если пропускные способности всех ребер целочисленные (сеть целочислена), то существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре.
 +
|proof=
 +
:Для доказательства достаточно рассмотреть [[Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину|алгоритм Форда-Фалкерсона]] для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней {{---}} читай в соответствующей статье):
  
−
Из определения G следует, что для всякого его ребра x существует множество <math>S(x)</math> из <math>h-1</math> вершин, которое в <math>G-x</math> разделяет s и t. Далее, граф <math>G-S(x)</math> содержит по крайней мере одну (s-t) цепь, так как граф G имеет h вершин, разделяющих s и t в G. Каждая такая (s-t) цепь должна содержать ребро <math>x=uv</math>, поскольку она не является цепью в <math>G-x</math>. Поэтому <math>u,v \notin S(x)</math>, и если <math>u <> s,t </math> то <math>S(x) \cup {u}</math> разделяет s и t в G
+
:# В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой).
 +
:# В остаточной сети этого потока находим какой-нибудь путь из источника к стоку и увеличиваем поток на пропускную способность этого пути.
 +
:# Повторяем пункт <tex>2</tex> до тех пор, пока находится хоть какой-то путь в остаточной сети.
  
−
{{Лемма
+
:То, что получится в конце, будет максимальным потоком. В случае целочисленной сети достаточно в качестве начального приближения взять нулевой поток, и не трудно видеть, что на каждой итерации (в том числе и последней) этот поток будет оставаться целочисленным, что и докажет требуемое.
−
|about=
 
−
I
 
−
|statement=
 
−
В графе G нет вершин, смежных одновременно с s и t
 
−
|proof=
 
−
Если в G есть вершина w, смежная как с s, так и с t, то в графе <math>G-w</math> для разделения s и t  требуется <math>h - 1</math> непересекающихся (s-t) цепей. Добавляя w, получаем в графе G h непересекающихся (s-t) цепей, что противоречит предположению о графе F
 
 
}}
 
}}
  
−
{{Лемма
+
И, наконец, сделаем немного более осознанным в общем-то и так интуитивно понятное утверждение:
−
|about=
+
{{Утверждение
−
II
+
|statement=Если в сети, где все пропускные способности ребер равны <tex>1</tex>, существует целочисленный поток величиной <tex>L</tex> то существует и <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей.
−
|statement=
 
−
Любой набор W, содержащий h вершин и разделяющий s и t является смежным с s или t
 
 
|proof=
 
|proof=
−
Пусть W - произвольный набор h вершин, разделяющих s и t в G. Цепь, соединяющую s с некоторой вершиной  <math>w_i \in W</math> и не содержащую других вершин из W будем называть (s-W) цепью. Аналогично назовем (W-t) цепь. Обозначим наборы всех (s-W) и (W-t) цепей <math>P_s</math> и <math>P_t</math> соответственно.Тогда каждая (s-t) цепь начинается с элемента из <math>P_s</math> и заканчивается элементом из <math>P_t</math>, поскольку любая цепь содержит вершину из W. Общие вершины цепей из <math>P_s</math> и <math>P_t</math> принадлежат набору W, так как по крайней мере одна цепь из каждого набора <math>P_s</math> и <math>P_t</math> содержит (любую) вершину <math>w_i</math>, и если бы существовала некоторая вершина, не принадлежащая набору W, но содержащаяся сразу и в (s-W) и в (W-t) цепи, то нашлась бы (s-t) цепь, не имеющая вершин из W. Наконец, выполняется либо равенство <math>P_s-W={s}</math>, либо равенство <math>P_t - W={t}</math>, поскольку в противном случае либо <math>P_s</math> вместе с ребрами <math>\{w_1t,w_2t...\}</math>, либо <math>P_t</math> вместе с ребрами <math>\{sw_1,sw_2...\}</math> образуют связные графы с меньшим числом вершин, чем у G, в которых s и t не смежны, и, следовательно, в каждом из них имеется h непересекающихся (s-t) цепей. Объединяя (s-W) и (W-t) части этих цепей, образуем в графе G h непересекающихся (s-t) цепей. Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано.
+
: Считаем, что <tex>u</tex> {{---}} источник, <tex>v</tex> {{---}} сток.
 +
: В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах с потоком равным <tex>1</tex>. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты из вершины <tex>u</tex> существуют, не включающее <tex>v</tex>, и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, видим противоречие (т.к. <tex>f(U,V)=|f|</tex>, смотри [[Разрез, лемма о потоке через разрез|первую лемму]]).
 +
 
 +
:Итак, найдем какой-нибудь маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах где поток равен <tex>1</tex>. Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к целочисленному потоку величиной <tex>L-1</tex>. Ясно, что можно повторить тоже самое еще <tex>L-1</tex> раз, и, таким образом мы выделим <tex>L</tex> реберно непересекающихся маршрутов.
 
}}
 
}}
−
Пусть <math>P=\{s, u_1, u_2 ... t\}</math> - кратчайшая (s-t) цепь в G, <math>u_1u_2=x</math> Заметим, что из(I) <math>u_1 <> t</math> Образуем множество <math>S(x)=\{v_1, ... , v_{h-1}\}</math>, разделяющее в <math>G-x</math> вершины s и t. Из (I) следует, что <math>u_1t \notin G</math> Используя (II) и беря <math>W=S(x)\cup {u_1}</math>, получаем <math>\forall i sv_i \in G</math> Таким образом в силу (I) <math>\forall v_it \notin G</math>. Однако, если выбрать <math>W=S(x) \cup {u_2}</math>, то в силу (II) получим <math>su_2 \in G</math>, что противоречит выбору P как кратчайшей (s-t) цепи. Из полученного противоречия следует, что графа G, удовлетворяющего указанным условиям не существует, а значит не существует и графа F, для которого теорема не верна
 
  
 +
==Теорема==
 +
Теперь сама теорема будет тривиальным следствием. В начале сформулируем и докажем реберную версию для случая ориентированного графа.
  
−
}}
+
{{Теорема
 +
|about=Менгера о реберной двойственности в ориентированном графе
 +
|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> существует <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>(L-1)</tex> ребер существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 +
|proof=
 +
<tex>\Leftarrow</tex> 
 +
:Как и прежде, пусть <tex>u</tex> {{---}} источник, а <tex>v</tex> {{---}} сток.
 +
:Назначим каждому ребру пропускную способность <tex>1</tex>. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме).
 +
:По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда, раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза и, существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше <tex>L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что найдется <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей.
  
−
{{Теорема
+
<tex>\Rightarrow</tex>
−
|about=
+
:Существует <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит, удалив любые <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает, что существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
−
Теорема Менгера для k связности (альтернативная формулировка)
 
−
|statement=
 
−
Две несмежные вершины k-отделимы тогда и только тогда, когда они k-соединимы
 
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
−
|about=
+
|about=Менгера о вершинной двойственности в ориентированном графе
−
Теорема Менгера для k-реберной связности
+
|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> существует <tex>L</tex> вершинно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>(L-1)</tex> вершин существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
−
|statement=
 
−
Пусть G - конечный, неориентированный граф, <math>\lambda(G) = k</math> <math>\Leftrightarrow</math> для всех пар вершин <math>x, y \in G</math> существует k реберно непересекающихся путей из x в y
 
 
|proof=
 
|proof=
−
Аналогично теореме для вершинной связности.
+
 
 +
:Разобьем каждую вершину на две таким образом:
 +
 
 +
:[[Файл:Menger-vertex.JPG]]
 +
 
 +
:''(все входящие ребра заходят в левую вершину, исходящие выходят из правой. между двумя новыми вершинами добавляем ребро)''
 +
 
 +
:Теперь задача практически сведена к первой теореме.
 +
:Необходимо лишь отметить, что если в старом графе пути вершинно пересекаются, то в новом графе пути необходимо реберно пересекаются и наоборот.
 +
:Кроме того, предложение "удалить в исходном графе любые <tex>L</tex> вершин" можно заменять на "в новом графе можно удалить любые <tex>L</tex> ребер" (достаточно выбирать вершины на концах этих ребер). Можно заменять и обратно, если учесть, что можно удалять ребра между парой вершин, которые раньше были одним целым.
 
}}
 
}}
 +
<includeonly>
 +
Теоремы для неориентированного графа формулируются идентично, а их доказательства сводятся к своим ориентированным двойникам путем замены каждого ребра на две дуги:
 +
 +
[[Файл:Menger_undirected.JPG‎]]
 +
</includeonly>
 +
 +
==См. также==
 +
*[[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
 +
* [[wikipedia:Menger's theorem | Wikipedia {{---}} Menger's theorem ]]
 +
 +
==Источники информации==
 +
* Ловас Л., Пламмер М. {{---}} '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии''' (глава 2.4 стр. 117) {{---}} 1998. {{---}} 656 с. {{---}} ISBN 5-03-002517-0
 +
* Харари Ф. '''Теория графов.''' глава 5 — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
  
−
==Литература==
+
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
−
Харари
+
[[Категория:Связность в графах]]

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как [math]k[/math]-связность и количество непересекающихся путей относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ориентированном или неориентированном графе, и подразумеваем ли реберную [math]k[/math]-связность и реберно непересекающиеся пути или же вершинную [math]k[/math]-связность и вершинно непересекающиеся пути.

Подготовка к доказательству

Для доказательства мы будем пользоваться развитой раннее теорией потоков. Кроме базовых определений нам потребуется понятие остаточной сети (иначе — дополнительной сети), а также теорема Форда-Фалкерсона.

Кроме того, потребуется лемма о целочисленности потока, которую сейчас и докажем:

Лемма (о целочисленности потока):
      Если пропускные способности всех ребер целочисленные (сеть целочислена), то существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства достаточно рассмотреть алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней — читай в соответствующей статье):
  1. В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой).
  2. В остаточной сети этого потока находим какой-нибудь путь из источника к стоку и увеличиваем поток на пропускную способность этого пути.
  3. Повторяем пункт [math]2[/math] до тех пор, пока находится хоть какой-то путь в остаточной сети.
То, что получится в конце, будет максимальным потоком. В случае целочисленной сети достаточно в качестве начального приближения взять нулевой поток, и не трудно видеть, что на каждой итерации (в том числе и последней) этот поток будет оставаться целочисленным, что и докажет требуемое.
[math]\triangleleft[/math]

И, наконец, сделаем немного более осознанным в общем-то и так интуитивно понятное утверждение:

Утверждение:
Если в сети, где все пропускные способности ребер равны [math]1[/math], существует целочисленный поток величиной [math]L[/math] то существует и [math]L[/math] реберно непересекающихся путей.
[math]\triangleright[/math]
Считаем, что [math]u[/math] — источник, [math]v[/math] — сток.
В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из [math]u[/math] в [math]v[/math] лежащий только на ребрах с потоком равным [math]1[/math]. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты из вершины [math]u[/math] существуют, не включающее [math]v[/math], и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, видим противоречие (т.к. [math]f(U,V)=|f|[/math], смотри первую лемму).
Итак, найдем какой-нибудь маршрут из [math]u[/math] в [math]v[/math] лежащий только на ребрах где поток равен [math]1[/math]. Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к целочисленному потоку величиной [math]L-1[/math]. Ясно, что можно повторить тоже самое еще [math]L-1[/math] раз, и, таким образом мы выделим [math]L[/math] реберно непересекающихся маршрутов.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема

Теперь сама теорема будет тривиальным следствием. В начале сформулируем и докажем реберную версию для случая ориентированного графа.

Теорема (Менгера о реберной двойственности в ориентированном графе):
Между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math] существует [math]L[/math] реберно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых [math](L-1)[/math] ребер существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Leftarrow[/math]

Как и прежде, пусть [math]u[/math] — источник, а [math]v[/math] — сток.
Назначим каждому ребру пропускную способность [math]1[/math]. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме).
По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе [math]L-1[/math] ребер, и тогда, раз [math]u[/math] и [math]v[/math] находятся в разных частях разреза и, существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше [math]L[/math]. А так как поток целочисленный, то это и означает, что найдется [math] L[/math] реберно непересекающихся путей.

[math]\Rightarrow[/math]

Существует [math] L[/math] реберно непересекающихся путей, а значит, удалив любые [math]L-1[/math] ребер хотя бы один путь останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает, что существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Менгера о вершинной двойственности в ориентированном графе):
Между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math] существует [math]L[/math] вершинно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых [math](L-1)[/math] вершин существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Разобьем каждую вершину на две таким образом:
Menger-vertex.JPG
(все входящие ребра заходят в левую вершину, исходящие выходят из правой. между двумя новыми вершинами добавляем ребро)
Теперь задача практически сведена к первой теореме.
Необходимо лишь отметить, что если в старом графе пути вершинно пересекаются, то в новом графе пути необходимо реберно пересекаются и наоборот.
Кроме того, предложение "удалить в исходном графе любые [math]L[/math] вершин" можно заменять на "в новом графе можно удалить любые [math]L[/math] ребер" (достаточно выбирать вершины на концах этих ребер). Можно заменять и обратно, если учесть, что можно удалять ребра между парой вершин, которые раньше были одним целым.
[math]\triangleleft[/math]


См. также

Источники информации

  • Ловас Л., Пламмер М. — Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии (глава 2.4 стр. 117) — 1998. — 656 с. — ISBN 5-03-002517-0
  • Харари Ф. Теория графов. глава 5 — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Теорема_Менгера&oldid=84372»