1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
Если <tex>a_n \geq 0</tex>, то ряд <tex>\sum\limits_{k = 1}^\inftya_n</tex> называют положительным.
}}
Так как ряд <tex>\sum b_n</tex> сходится, то, по теореме Вейерштрасса, сумма <tex>b_k</tex> ограничена каким-то числом <tex>B</tex>. А тогда,
<tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \leq \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k b_k \leq B</tex>.
Значит, <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> сходится.
}}
Применим этот критерий для исследования ряда <tex>\sum\limits_{k n = 1}^\infty \frac1{n^p}</tex>, <tex>p > 0</tex>.
При <tex>p = 1</tex> получаем гармонический ряд.
<tex>a_n = \frac1{n^p}</tex> убывает.
<tex>2^na_{2^n} = 2^n \frac1{2^{np}} = \left(\frac1{2^{p - 1}}\right)^n</tex>.
<tex>\sum\limits_{k n = 1}^\infty 2^n a_{2^n} =</tex> <tex>\sum\limits_{k n = 1}^\infty \left(\frac1{2^{p-1}}\right)^n =</tex> <tex>\sum\limits_{k n = 1}^\infty q^n</tex>
По формуле суммы геометрицеской прогрессии,
Значит, (<tex>S_n</tex> сходится <tex>\iff</tex> <tex>q^{n + 1} \to 0</tex>) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>q \in (0; 1)</tex>.
В частности, гармончиеский гармонический ряд расходится.
== Сравнение ряда с геометрической прогрессией (признак Даламбера и радикальный признак Коши)==
На основе сравнения рядов можно получать принципы их сходимости, то есть теоремы, в которых формируется условие на поведение слагаемых ряда, гарантирующих его сходимость.
Пусть <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> {{---}} положительный ряд.
# Если <tex>\frac{a_{n + 1}}{a_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} q</tex>, то при <tex>q < 1</tex> ряд сходится, при <tex>q > 1</tex> ряд расходится, при <tex>q = 1</tex> возможны оба варианта.(признак Даламбера)
# Пусть <tex>\sqrt[n]{a_n} \xrightarrow[n \to \infty] {} q</tex>. Тогда выполняются такие же соотношения, что и в пункте 1.(Радикальный признак Коши)
|proof=
Будем руководствоваться тем, что поведение конечного числа слагаемых не влияет на сходимость ряда.
<tex>q < 1:\ \exists N\ \forall n>N:\ \sqrt[n]{a_n} < q + \varepsilon_0 < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>a_n < (q + \varepsilon_0)^n</tex>.
Ряд мажорируется бесконечной убывающей прогресиейпрогресcией.
}}
}}
Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{k n = 1}^\infty \frac1{n \ln n}</tex>. <tex>f(x) = \frac1{x \ln x}</tex>
<tex>\int f(x) = \int \frac1{\ln n} d \ln x = \ln \ln x</tex>
Значит, по интегральному признаку Коши, даже добавление логарифма в знаменатель не помогло гармоническому ряду стать сходящимся. И ничто ему не поможет!
