Троичный поиск — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 50 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
'''Троичный поиск''' (''ternary search, тернарный поиск'') {{---}} метод поиска минимума или максимума функции на отрезке, которая либо сначала строго возрастает, затем строго убывает, либо наоборот.
'''Троичный поиск''' {{---}} метод поиска минимума или максимума функции на отрезке.
+
== Алгоритм ==
  
Рассмотрим этот алгоритм на примере поиска минимума (поиск максимума аналогичен).
+
[[File:Ternar2.png|thumb|280px|Пример. <tex>f(a) < f(b) \implies x_{min} \in [l, b]</tex>]]
  
Пусть функция <tex>f(x)</tex> на отрезке <tex>[a, b]</tex> имеет минимум, и мы хотим найти точку <tex>x_{min}</tex>, в которой он достигается.
+
Рассмотрим этот алгоритм на примере поиска минимума (поиск максимума аналогичен).  
  
Посчитаем значения функции в точках <tex> x_1 = a + \frac{(b-a)}{3} </tex> и <tex> x_2 = a + \frac{2(b-a)}{3} </tex>. Так как в точке <tex>x_{min}</tex> минимум, то до нее на отрезке <tex>[a, b]</tex> функция убывает, а после нее {{---}} возрастает, то есть
+
Пусть функция <tex>f(x)</tex> на отрезке <tex>[l, r]</tex> имеет минимум, и мы хотим найти точку <tex>x_{min}</tex>, в которой он достигается.
<tex> \forall x', x'' \in [a, b]: \\
 
a      < x' < x'' < x_{min} \Rightarrow f(a)      > f(x') > f(x'') > f(x_{min}) \\
 
x_{min} < x' < x'' < b      \Rightarrow f(x_{min}) < f(x') < f(x'') < f(b)      </tex>.
 
  
Значит <tex>f(x_1) < f(x_2) \Rightarrow x_{min} \in [a, x_2]</tex>, аналогично <tex>f(x_1) > f(x_2) \Rightarrow x_{min} \in [x_1, b]</tex>. Тогда нам нужно изменить границы поиска и искать дальше, пока не будет достигнута необходимая точность, то есть <tex> b-a < \varepsilon </tex>.
+
Посчитаем значения функции в точках <tex> a = l + \dfrac{(r-l)}{3} </tex> и <tex> b = l + \dfrac{2(r-l)}{3} </tex>.
 +
 
 +
Так как в точке <tex>x_{min}</tex> минимум, то на отрезке <tex>[l, x_{min}]</tex> функция убывает, а на <tex>[x_{min}, r]</tex> {{---}} возрастает, то есть
 +
 
 +
<tex> \forall x', x'' \in [l, r]: \\
 +
l      < x' < x'' < x_{min} \implies f(l)      > f(x') > f(x'') > f(x_{min}) \\
 +
x_{min} < x' < x'' < r      \implies f(x_{min}) < f(x') < f(x'') < f(r)      </tex>.
 +
 
 +
Значит если <tex>f(a) < f(b)</tex>, то <tex>x_{min} \in [l, b]</tex>,
 +
аналогично из <tex>f(a) > f(b)</tex> следует <tex> x_{min} \in [a, r]</tex>.
 +
 
 +
Тогда нам нужно изменить границы поиска и искать дальше,
 +
пока не будет достигнута необходимая точность, то есть <tex> r-l < \varepsilon </tex>.
 +
 
 +
Из рассуждений и рисунка может возникнуть идея взять, например, отрезок <tex>[l, a]</tex> вместо отрезка <tex>[l, b]</tex>. Но этого делать нельзя, потому что мы не умеем различать случаи, когда <tex>f(a) < f(b)</tex> и <tex>a</tex> слева или справа от минимума.
 +
 
 +
Можно заметить, что если мы всегда будем брать отрезок <tex>[l, b]</tex> при <tex>f(a) < f(b)</tex> или <tex>[a, r]</tex> при <tex>f(a) > f(b)</tex> , то минимум функции всегда будет в нашем отрезке. Если <tex>f(a) = f(b)</tex>, то можно взять любой отрезок.
 +
 
 +
=== Псевдокод ===
 +
 
 +
Рекурсивный вариант:
 +
 
 +
'''double''' ternarySearchMin('''double''' f(), '''double''' left, '''double''' right, '''double''' eps):
 +
    '''if''' right - left < eps
 +
        '''return''' (left + right) / 2
 +
    a = (left * 2 + right) / 3
 +
    b = (left + right * 2) / 3
 +
    '''if''' f(a) < f(b)
 +
        '''return''' ternarySearchMin(f, left, b, eps)
 +
    '''else'''
 +
        '''return''' ternarySearchMin(f, a, right, eps)
 +
 
 +
Итеративный вариант:
 +
 
 +
'''double''' ternarySearchMin('''double''' f(), '''double''' left, '''double''' right, '''double''' eps):
 +
    '''while''' right - left > eps
 +
        a = (left * 2 + right) / 3
 +
        b = (left + right * 2) / 3
 +
        '''if''' f(a) < f(b)
 +
            right = b
 +
        '''else'''
 +
            left = a
 +
    '''return''' (left + right) / 2
 +
 
 +
=== Время работы ===
 +
 
 +
Так как на каждой итерации мы считаем два значения функции и уменьшаем область поиска в полтора раза, пока <tex> r - l > \varepsilon</tex>,
 +
то время работы алгоритма составит
 +
<tex dpi = "135">2 \log_{\frac32} \left(\dfrac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex>
 +
 
 +
== См. также ==
 +
 
 +
* [[Поиск с помощью золотого сечения]]
 +
 
 +
== Источники информации ==
 +
 
 +
* Дональд Кнут {{---}} Искусство программирования. Том 3. Сортировка и поиск. / Knuth D.E. {{---}} The Art of Computer Programming. Vol. 3. Sorting and Searching.
 +
* [[wikipedia:ru:Троичный поиск|Троичный поиск — Википедия]]
 +
* [[wikipedia:Ternary search|Ternary search {{---}} Wikipedia]]
 +
 
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Алгоритмы поиска]]

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

Троичный поиск (ternary search, тернарный поиск) — метод поиска минимума или максимума функции на отрезке, которая либо сначала строго возрастает, затем строго убывает, либо наоборот.

Алгоритм

Пример. [math]f(a) \lt f(b) \implies x_{min} \in [l, b][/math]

Рассмотрим этот алгоритм на примере поиска минимума (поиск максимума аналогичен).

Пусть функция [math]f(x)[/math] на отрезке [math][l, r][/math] имеет минимум, и мы хотим найти точку [math]x_{min}[/math], в которой он достигается.

Посчитаем значения функции в точках [math] a = l + \dfrac{(r-l)}{3} [/math] и [math] b = l + \dfrac{2(r-l)}{3} [/math].

Так как в точке [math]x_{min}[/math] минимум, то на отрезке [math][l, x_{min}][/math] функция убывает, а на [math][x_{min}, r][/math] — возрастает, то есть

[math] \forall x', x'' \in [l, r]: \\ l \lt x' \lt x'' \lt x_{min} \implies f(l) \gt f(x') \gt f(x'') \gt f(x_{min}) \\ x_{min} \lt x' \lt x'' \lt r \implies f(x_{min}) \lt f(x') \lt f(x'') \lt f(r) [/math].

Значит если [math]f(a) \lt f(b)[/math], то [math]x_{min} \in [l, b][/math], аналогично из [math]f(a) \gt f(b)[/math] следует [math] x_{min} \in [a, r][/math].

Тогда нам нужно изменить границы поиска и искать дальше, пока не будет достигнута необходимая точность, то есть [math] r-l \lt \varepsilon [/math].

Из рассуждений и рисунка может возникнуть идея взять, например, отрезок [math][l, a][/math] вместо отрезка [math][l, b][/math]. Но этого делать нельзя, потому что мы не умеем различать случаи, когда [math]f(a) \lt f(b)[/math] и [math]a[/math] слева или справа от минимума.

Можно заметить, что если мы всегда будем брать отрезок [math][l, b][/math] при [math]f(a) \lt f(b)[/math] или [math][a, r][/math] при [math]f(a) \gt f(b)[/math] , то минимум функции всегда будет в нашем отрезке. Если [math]f(a) = f(b)[/math], то можно взять любой отрезок.

Псевдокод

Рекурсивный вариант:

double ternarySearchMin(double f(), double left, double right, double eps):
    if right - left < eps
        return (left + right) / 2
    a = (left * 2 + right) / 3
    b = (left + right * 2) / 3
    if f(a) < f(b)
        return ternarySearchMin(f, left, b, eps)
    else
        return ternarySearchMin(f, a, right, eps)

Итеративный вариант:

double ternarySearchMin(double f(), double left, double right, double eps): 
    while right - left > eps 
        a = (left * 2 + right) / 3
        b = (left + right * 2) / 3
        if f(a) < f(b)
            right = b
        else
            left = a
    return (left + right) / 2

Время работы

Так как на каждой итерации мы считаем два значения функции и уменьшаем область поиска в полтора раза, пока [math] r - l \gt \varepsilon[/math], то время работы алгоритма составит [math]2 \log_{\frac32} \left(\dfrac{r - l}{\varepsilon}\right)[/math]

См. также

Источники информации