Унитарный и ортогональный операторы — различия между версиями
Maryann (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Определение |id=1 |definition= '''Унитарным оператором''' называется оператор, сохраняющий скаля...») |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 5 промежуточных версий 2 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | __TOC__ | ||
+ | ==Унитарный оператор== | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|id=1 | |id=1 | ||
Строка 12: | Строка 14: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |id= | + | |id=3 |
|definition= | |definition= | ||
'''Унитарным оператором''' называется оператор такой, что <tex>\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+} \ (\mathcal{U}^{+}</tex> {{---}} эрмитовски сопряженный оператор<tex>)</tex>, то есть <tex>\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}</tex> | '''Унитарным оператором''' называется оператор такой, что <tex>\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+} \ (\mathcal{U}^{+}</tex> {{---}} эрмитовски сопряженный оператор<tex>)</tex>, то есть <tex>\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}</tex> | ||
Строка 26: | Строка 28: | ||
'''Шаг 2. опр2 <tex>\Rightarrow</tex> опр1''' | '''Шаг 2. опр2 <tex>\Rightarrow</tex> опр1''' | ||
+ | |||
+ | Пусть во втором определении <tex>x \rightarrow x+y: \Vert \mathcal{U}(x+y) \Vert=\Vert x+y\Vert \Rightarrow \Vert \mathcal{U}(x+y) \Vert^2=\Vert x+y\Vert^2 (*)</tex> | ||
+ | |||
+ | Левая часть <tex>(*)=\left \langle \mathcal{U}(x+y);\mathcal{U}(x+y) \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle+\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle+\overline{\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle}+\left \langle \mathcal{U}y;\mathcal{U}y \right \rangle</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>=\Vert \mathcal{U}x \Vert^2+2Re\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle+\Vert \mathcal{U}y \Vert^2</tex> | ||
+ | |||
+ | Правая часть <tex>(*)=\left \langle x+y;x+y \right \rangle=\Vert x \Vert^2+2Re\left \langle x;y \right \rangle+\Vert x \Vert^2</tex> | ||
+ | |||
+ | Итого: <tex>Re\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=Re\left \langle x;y \right \rangle</tex> | ||
+ | |||
+ | Аналогично полагая, что <tex>x \rightarrow x+iy</tex> получим, что <tex>Im\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=Im\left \langle x;y \right \rangle</tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)</tex> | ||
'''Шаг 3. опр1 <tex>\Rightarrow</tex> опр3''' | '''Шаг 3. опр1 <tex>\Rightarrow</tex> опр3''' | ||
+ | |||
+ | <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;\mathcal{U}^+(\mathcal{U}y) \right \rangle=\left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle</tex>, так как <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)</tex>, то <tex>\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y=\mathcal{J}y \Rightarrow \mathcal{U}^+\mathcal{U}=\mathcal{J}</tex> | ||
+ | |||
+ | Перейдем в ОРТН базис: <tex>U^+U=E, \ det(U^+U)=detU^+ \cdot detU=detE=1 \Rightarrow \exists U^{-1} \Rightarrow \exists \mathcal{U}^{-1}</tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex>\exists \mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+}</tex>, то есть <tex>\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}</tex> | ||
'''Шаг 4. опр3 <tex>\Rightarrow</tex> опр1''' | '''Шаг 4. опр3 <tex>\Rightarrow</tex> опр1''' | ||
+ | |||
+ | <tex>\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y (+)</tex> | ||
+ | <tex>\left \langle x;(+) \right \rangle: \left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y\right \rangle= \left \langle x;y \right \rangle</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ==Свойства унитарного оператора== | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>\mathcal{U} \leftrightarrow U=\Vert \nu_{i}^{k} \Vert</tex>, тогда | ||
+ | |||
+ | 1) <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\nu_{k}^{i} \overline{\nu}_{j}^{k}=\delta^{ij}</tex> {{---}} ортогональность матрицы УНО по строкам. | ||
+ | |||
+ | 2) <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\nu_{i}^{k} \overline{\nu}_{k}^{j}=\delta^{ij}</tex> {{---}} ортогональность матрицы УНО по столбцам. | ||
+ | |||
+ | |proof= | ||
+ | Рассмотрим <tex>\{\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+\}_{i}^{j}=\sum\limits_{i=1}^{k} \{\mathcal{U}\}_{k}^{i} \cdot \{\mathcal{U}^+\}_{j}^{k} \ (*) \ (\mathcal{U}^+=\overline{\mathcal{U}}^T</tex> {{---}} так как базис ОРТН <tex>)</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>(*)=\sum\limits_{k=1}^{n} \nu_{k}^{i} \overline{\nu}_{j}^{k}=\delta^{ij}=\{E\}_{j}^{i}=\delta^{ij}</tex> | ||
+ | |||
+ | Для строк аналогично. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Матрица, обладающая свойствами ортогональности по строкам и столбцам называется '''унитарной матрицей'''. <tex>(U^{-1}=U^+, \ U^{-1}=\overline{U}^T, \ U \cdot U^+=U^+ \cdot U=E)</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex>\mathcal{U}: E \rightarrow E \ (E - </tex> евклидово над <tex>\mathbb{R})</tex> и <tex>\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^+</tex>, тогда ло <tex>\mathcal{U}</tex> называют '''ортогональным''' | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | В ОРТН базисе: <tex>U^{-1}=U^+=U^T</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | В <tex>\mathbb{R} \ U^{-1}=U^T</tex> называют '''ортогональной матрицей'''. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>\mathcal{U} -</tex> УНО, тогда <tex>\vert det \ \mathcal{U} \vert=1</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | Рассмотрим ОРТН базис: <tex>U \cdot U^+=U^+ \cdot U=E</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>det(U \cdot U^+)=detU \cdot detU^+=detU \cdot det \overline{U}^T=detU \cdot \overline{detU^T}= detU \cdot \overline{detU}=\vert detU \vert^2=det E=1 \Rightarrow \vert det \ \mathcal{U} \vert=1</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | NB: Для ОРТН оператора: <tex>det \ \mathcal{U} \vert=1 \Rightarrow det \mathcal{U}= \pm 1</tex> | ||
+ | |||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | Все сз УНО по модулю равны 1 <tex>\Rightarrow</tex> лежат на единичной окружности <tex>\mathbb{C}</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | Пусть св <tex>x \rightarrow</tex> сз <tex>\lambda</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle x;x \right \rangle=\Vert x \Vert^2</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle \lambda x;\lambda x \right \rangle= \lambda \cdot \overline{\lambda}\left \langle x;x \right \rangle = \vert \lambda \vert^2 \cdot \Vert x \Vert^2 \Rightarrow \vert \lambda \vert^2=1 \Rightarrow \vert \lambda \vert=1</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | NB: <tex>\sigma_{\mathcal{U}} = \{\lambda_1 = e^{i\phi_1}...\lambda_k = e^{i\phi_k}\}</tex> | ||
+ | |||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | Все св УНО отвечающие различным сз ортогональны. | ||
+ | |proof= | ||
+ | Пусть св <tex>x_1 \rightarrow</tex> сз <tex>\lambda_1</tex>, св <tex>x_2 \rightarrow</tex> сз <tex>\lambda_2</tex>, <tex>\lambda_1 \ne \lambda_2</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\left \langle \mathcal{U}x_1;\mathcal{U}x_2 \right \rangle=\left \langle x_1;x_2 \right \rangle (1)</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\left \langle \mathcal{U}x_1;\mathcal{U}x_2 \right \rangle=\left \langle \lambda x_1;\lambda x_2 \right \rangle= \lambda \cdot \overline{\lambda}\left \langle x_1;x_2 \right \rangle (2)</tex> | ||
+ | |||
+ | (1)-(2): <tex>0=(1-\lambda \cdot \overline{\lambda})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=(1-e^{i\phi_1} \cdot e^{\overline{i\phi_2}})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=(1-e^{i(\phi_1-\phi_2)})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle \Rightarrow </tex> | ||
+ | <tex>\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=0 \Rightarrow x_1 \bot x_2</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | УНО имеет скалярный тип. При этом из его собственных векторов может быть сконструирован ОРТН базис. | ||
+ | |proof= | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ==Спектральная теорема== | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>\mathcal{P}_{\alpha_i}</tex> {{---}} проекторы на одномерное ИПП <tex>\leftrightarrow</tex> св <tex>x_i</tex>, тогда <tex>\mathcal{U}=\sum\limits_{j=1}^{n}e^{i\phi_j}\mathcal{P}_{\alpha_i}^{\bot}=\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_j\mathcal{P}_{\alpha_i}^{\bot}</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Матрица любого эрмитова оператора может быть приведена к диагональной форме унитарным преобразованием. <tex>A \rightarrow \tilde{A}=U^{-1}AU</tex><br> | ||
+ | |||
+ | <tex>\{e_1..e_n\} - </tex> ОРТН базис, <tex>U=({e1}..(e_n))</tex>, <tex>\left \langle e_i;e_k \right \rangle=\delta_{ik} - </tex> ортогональность по столбцам. | ||
+ | |proof= | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>U(n)=\{</tex> все унитарные матрицы <tex>U_{n*n}\}</tex>. Тогда <tex>U(n) -</tex> группа относительно умножения матриц. | ||
+ | |proof= | ||
}} | }} |
Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022
Унитарный оператор
Определение: |
Унитарным оператором называется оператор, сохраняющий скалярное произведение, то есть |
Определение: |
Унитарным оператором называется оператор, сохраняющий норму вектора, то есть |
Определение: |
Унитарным оператором называется оператор такой, что | — эрмитовски сопряженный оператор , то есть
Теорема: |
Все три определения эквивалентны |
Доказательство: |
Шаг 1. опр1 опр2Пусть в первом определении Шаг 2. опр2 опр1Пусть во втором определении Левая часть
Правая часть Итого: Аналогично полагая, что получим, чтоТогда Шаг 3. опр1 опр3, так как , то Перейдем в ОРТН базис: Тогда , то естьШаг 4. опр3 опр1
|
Свойства унитарного оператора
Теорема: |
Пусть , тогда
1) 2) — ортогональность матрицы УНО по строкам. — ортогональность матрицы УНО по столбцам. |
Доказательство: |
Рассмотрим — так как базис ОРТНДля строк аналогично. |
Определение: |
Матрица, обладающая свойствами ортогональности по строкам и столбцам называется унитарной матрицей. |
Определение: |
Пусть | евклидово над и , тогда ло называют ортогональным
Лемма: |
В ОРТН базисе: |
Определение: |
В | называют ортогональной матрицей.
Лемма: |
Пусть УНО, тогда |
Доказательство: |
Рассмотрим ОРТН базис: |
NB: Для ОРТН оператора:
Лемма: |
Все сз УНО по модулю равны 1 лежат на единичной окружности |
Доказательство: |
Пусть св сз
|
NB:
Лемма: |
Все св УНО отвечающие различным сз ортогональны. |
Доказательство: |
Пусть св сз , св сз ,
(1)-(2): |
Теорема: |
УНО имеет скалярный тип. При этом из его собственных векторов может быть сконструирован ОРТН базис. |
Спектральная теорема
Теорема: |
Пусть — проекторы на одномерное ИПП св , тогда |
Теорема: |
Матрица любого эрмитова оператора может быть приведена к диагональной форме унитарным преобразованием. ОРТН базис, , ортогональность по столбцам. |
Теорема: |
все унитарные матрицы . Тогда группа относительно умножения матриц. |