Унитарный и ортогональный операторы

Унитарный оператор

Определение:

Унитарным оператором называется оператор, сохраняющий скалярное произведение, то есть [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)[/math]

Определение:

Унитарным оператором называется оператор, сохраняющий норму вектора, то есть [math]\Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert \ (\forall x \in E)[/math]

Определение:

Унитарным оператором называется оператор такой, что [math]\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+} \ (\mathcal{U}^{+}[/math] — эрмитовски сопряженный оператор[math])[/math], то есть [math]\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}[/math]

Теорема:

Все три определения эквивалентны

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Шаг 1. опр1 [math]\Rightarrow[/math] опр2 Пусть в первом определении [math]x=y: \left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle x;x \right \rangle \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert^2=\Vert x\Vert^2 \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert[/math] Шаг 2. опр2 [math]\Rightarrow[/math] опр1 Пусть во втором определении [math]x \rightarrow x+y: \Vert \mathcal{U}(x+y) \Vert=\Vert x+y\Vert \Rightarrow \Vert \mathcal{U}(x+y) \Vert^2=\Vert x+y\Vert^2 (*)[/math] Левая часть [math](*)=\left \langle \mathcal{U}(x+y);\mathcal{U}(x+y) \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle+\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle+\overline{\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle}+\left \langle \mathcal{U}y;\mathcal{U}y \right \rangle[/math] [math]=\Vert \mathcal{U}x \Vert^2+2Re\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle+\Vert \mathcal{U}y \Vert^2[/math] Правая часть [math](*)=\left \langle x+y;x+y \right \rangle=\Vert x \Vert^2+2Re\left \langle x;y \right \rangle+\Vert x \Vert^2[/math] Итого: [math]Re\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=Re\left \langle x;y \right \rangle[/math] Аналогично полагая, что [math]x \rightarrow x+iy[/math] получим, что [math]Im\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=Im\left \langle x;y \right \rangle[/math] Тогда [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)[/math] Шаг 3. опр1 [math]\Rightarrow[/math] опр3 [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;\mathcal{U}^+(\mathcal{U}y) \right \rangle=\left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle[/math], так как [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)[/math], то [math]\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y=\mathcal{J}y \Rightarrow \mathcal{U}^+\mathcal{U}=\mathcal{J}[/math] Перейдем в ОРТН базис: [math]U^+U=E, \ det(U^+U)=detU^+ \cdot detU=detE=1 \Rightarrow \exists U^{-1} \Rightarrow \exists \mathcal{U}^{-1}[/math] Тогда [math]\exists \mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+}[/math], то есть [math]\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}[/math] Шаг 4. опр3 [math]\Rightarrow[/math] опр1 [math]\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y (+)[/math] [math]\left \langle x;(+) \right \rangle: \left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y\right \rangle= \left \langle x;y \right \rangle[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Свойства унитарного оператора

Теорема:

Пусть [math]\mathcal{U} \leftrightarrow U=\Vert \nu_{i}^{k} \Vert[/math], тогда 1) [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\nu_{k}^{i} \overline{\nu}_{j}^{k}=\delta^{ij}[/math] — ортогональность матрицы УНО по строкам. 2) [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\nu_{i}^{k} \overline{\nu}_{k}^{j}=\delta^{ij}[/math] — ортогональность матрицы УНО по столбцам.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\{\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+\}_{i}^{j}=\sum\limits_{i=1}^{k} \{\mathcal{U}\}_{k}^{i} \cdot \{\mathcal{U}^+\}_{j}^{k} \ (*) \ (\mathcal{U}^+=\overline{\mathcal{U}}^T[/math] — так как базис ОРТН [math])[/math] [math](*)=\sum\limits_{k=1}^{n} \nu_{k}^{i} \overline{\nu}_{j}^{k}=\delta^{ij}=\{E\}_{j}^{i}=\delta^{ij}[/math] Для строк аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Матрица, обладающая свойствами ортогональности по строкам и столбцам называется унитарной матрицей. [math](U^{-1}=U^+, \ U^{-1}=\overline{U}^T, \ U \cdot U^+=U^+ \cdot U=E)[/math]

Определение:

Пусть [math]\mathcal{U}: E \rightarrow E \ (E - [/math] евклидово над [math]\mathbb{R})[/math] и [math]\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^+[/math], тогда ло [math]\mathcal{U}[/math] называют ортогональным

Лемма:

В ОРТН базисе: [math]U^{-1}=U^+=U^T[/math]

Определение:

В [math]\mathbb{R} \ U^{-1}=U^T[/math] называют ортогональной матрицей.

Лемма:

Пусть [math]\mathcal{U} -[/math] УНО, тогда [math]\vert det \ \mathcal{U} \vert=1[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим ОРТН базис: [math]U \cdot U^+=U^+ \cdot U=E[/math] [math]det(U \cdot U^+)=detU \cdot detU^+=detU \cdot det \overline{U}^T=detU \cdot \overline{detU^T}= detU \cdot \overline{detU}=\vert detU \vert^2=det E=1 \Rightarrow \vert det \ \mathcal{U} \vert=1[/math]

[math]\triangleleft[/math]

NB: Для ОРТН оператора: [math]det \ \mathcal{U} \vert=1 \Rightarrow det \mathcal{U}= \pm 1[/math]

Лемма:

Все сз УНО по модулю равны 1 [math]\Rightarrow[/math] лежат на единичной окружности [math]\mathbb{C}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть св [math]x \rightarrow[/math] сз [math]\lambda[/math] [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle x;x \right \rangle=\Vert x \Vert^2[/math] [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle \lambda x;\lambda x \right \rangle= \lambda \cdot \overline{\lambda}\left \langle x;x \right \rangle = \vert \lambda \vert^2 \cdot \Vert x \Vert^2 \Rightarrow \vert \lambda \vert^2=1 \Rightarrow \vert \lambda \vert=1[/math]

[math]\triangleleft[/math]

NB: [math]\sigma_{\mathcal{U}} = \{\lambda_1 = e^{i\phi_1}...\lambda_k = e^{i\phi_k}\}[/math]

Лемма:

Все св УНО отвечающие различным сз ортогональны.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть св [math]x_1 \rightarrow[/math] сз [math]\lambda_1[/math], св [math]x_2 \rightarrow[/math] сз [math]\lambda_2[/math], [math]\lambda_1 \ne \lambda_2[/math] [math]\left \langle \mathcal{U}x_1;\mathcal{U}x_2 \right \rangle=\left \langle x_1;x_2 \right \rangle (1)[/math] [math]\left \langle \mathcal{U}x_1;\mathcal{U}x_2 \right \rangle=\left \langle \lambda x_1;\lambda x_2 \right \rangle= \lambda \cdot \overline{\lambda}\left \langle x_1;x_2 \right \rangle (2)[/math] (1)-(2): [math]0=(1-\lambda \cdot \overline{\lambda})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=(1-e^{i\phi_1} \cdot e^{\overline{i\phi_2}})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=(1-e^{i(\phi_1-\phi_2)})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle \Rightarrow [/math] [math]\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=0 \Rightarrow x_1 \bot x_2[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

УНО имеет скалярный тип. При этом из его собственных векторов может быть сконструирован ОРТН базис.

Спектральная теорема

Теорема:

Пусть [math]\mathcal{P}_{\alpha_i}[/math] — проекторы на одномерное ИПП [math]\leftrightarrow[/math] св [math]x_i[/math], тогда [math]\mathcal{U}=\sum\limits_{j=1}^{n}e^{i\phi_j}\mathcal{P}_{\alpha_i}^{\bot}=\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_j\mathcal{P}_{\alpha_i}^{\bot}[/math]

Теорема:

Матрица любого эрмитова оператора может быть приведена к диагональной форме унитарным преобразованием. [math]A \rightarrow \tilde{A}=U^{-1}AU[/math] [math]\{e_1..e_n\} - [/math] ОРТН базис, [math]U=({e1}..(e_n))[/math], [math]\left \langle e_i;e_k \right \rangle=\delta_{ik} - [/math] ортогональность по столбцам.

Теорема:

[math]U(n)=\{[/math] все унитарные матрицы [math]U_{n*n}\}[/math]. Тогда [math]U(n) -[/math] группа относительно умножения матриц.