Унитарный и ортогональный операторы — различия между версиями
Maryann (обсуждение | вклад) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
(не показана 1 промежуточная версия 1 участника) | |
(нет различий)
|
Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022
Унитарный оператор
Определение: |
Унитарным оператором называется оператор, сохраняющий скалярное произведение, то есть |
Определение: |
Унитарным оператором называется оператор, сохраняющий норму вектора, то есть |
Определение: |
Унитарным оператором называется оператор такой, что | — эрмитовски сопряженный оператор , то есть
Теорема: |
Все три определения эквивалентны |
Доказательство: |
Шаг 1. опр1 опр2Пусть в первом определении Шаг 2. опр2 опр1Пусть во втором определении Левая часть
Правая часть Итого: Аналогично полагая, что получим, чтоТогда Шаг 3. опр1 опр3, так как , то Перейдем в ОРТН базис: Тогда , то естьШаг 4. опр3 опр1
|
Свойства унитарного оператора
Теорема: |
Пусть , тогда
1) 2) — ортогональность матрицы УНО по строкам. — ортогональность матрицы УНО по столбцам. |
Доказательство: |
Рассмотрим — так как базис ОРТНДля строк аналогично. |
Определение: |
Матрица, обладающая свойствами ортогональности по строкам и столбцам называется унитарной матрицей. |
Определение: |
Пусть | евклидово над и , тогда ло называют ортогональным
Лемма: |
В ОРТН базисе: |
Определение: |
В | называют ортогональной матрицей.
Лемма: |
Пусть УНО, тогда |
Доказательство: |
Рассмотрим ОРТН базис: |
NB: Для ОРТН оператора:
Лемма: |
Все сз УНО по модулю равны 1 лежат на единичной окружности |
Доказательство: |
Пусть св сз
|
NB:
Лемма: |
Все св УНО отвечающие различным сз ортогональны. |
Доказательство: |
Пусть св сз , св сз ,
(1)-(2): |
Теорема: |
УНО имеет скалярный тип. При этом из его собственных векторов может быть сконструирован ОРТН базис. |
Спектральная теорема
Теорема: |
Пусть — проекторы на одномерное ИПП св , тогда |
Теорема: |
Матрица любого эрмитова оператора может быть приведена к диагональной форме унитарным преобразованием. ОРТН базис, , ортогональность по столбцам. |
Теорема: |
все унитарные матрицы . Тогда группа относительно умножения матриц. |