Изменения

'''Динамические деревья''' (англ.''dynamic tree'') используются в двух областях: [[Определение сети, потока|потоки]] и динамические графы.В первом случае динамические деревья позволяют построить эффективные алгоритмы для задачи о поиске максимального потока.В динамическом графе периодически происходят изменения: появляются и исчезают ребра, меняются их веса. Нужно быстро обрабатывать изменения, а также уметь [[Отношение связности, компоненты связности | проверять связность]], [[Алгоритмы на деревьях|искать диаметр]]. Динамические деревья являются инструментом, который позволяет легко решать эти задачи. Динамические деревья особенно эффективны, когда нужно работать с большими деревьями и большим количеством запросов '''link''' и '''cut'''. '''Link-cut tree ''' {{---}} это структура данных, которая хранит [[Дерево, эквивалентные определения |лес деревьев ]] и позволяет выполнять следующие операции:* '''<tex>\mathrm{min(v)}</tex>''' {{---}} искать минимум на пути от вершины до корня;,* '''<tex>\mathrm{add(v, c)}</tex>''' {{---}} прибавлять константу на пути от вершины до корня;,* '''<tex>\mathrm{link(u,w) }</tex>''' {{-- -}} подвешивать одно дерево на другое;,* '''<tex>\mathrm{cut(v) }</tex>''' {{-- -}} отрезать дерево с корнем в вершине <tex>\mathrm{v}</tex>.Среднее время выполнения каждой операции {{---}} <tex>O(\log n)</tex>. Эта структура данных была придумана Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в 1982 году.

Сначала научимся выполнять эти операции для частного случаярассмотрим частный случай, в котором все деревья {{- --}} это пути. Для этого представим путь в виде splay-дерева, в котором ключи выбираются равными глубине вершины. и мы хотим уметь: [[Файл:Path_to_tree.png|250px|thumb|right|Пример построения дерева для пути]]Тогда операциям * '''<tex>\mathrm{add(v, c)}</tex>''' и '''<tex>\mathrm{min(v)}</tex>''' {{---}} прибавлять константу и искать минимум на некотором суффиксе (то есть на пути от вершины до корня), * '''<tex>\mathrm{cut(v)}</tex>''' {{---}} разбить один путь на два,* '''<tex>\mathrm{link(v, u)}</tex>''' {{---}} подвешивать голову одного пути к хвосту другого.  Если бы не последние две операции, то можно было бы применить [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления|дерево отрезков]], сложив в него вершины в том порядке в котором они идут в пути. Но непонятно, как сливать или разрезать деревья отрезков. Эту задачу можно решить при помощи [[Декартово дерево по неявному ключу|декартового дерева по неявному ключу]]. Также, если использовать какие-нибудь сливаемые деревья, то <tex>\mathrm{link }</tex> и <tex> \mathrm{cut}</tex> реализуются просто. Осталось научиться искать минимум и прибавлять константу на пути. Для этого, как и в деревьях отрезков, будем хранить дополнительные значения в вершинах.В качестве сливаемых деревьев выберем [[Splay-дерево|splay-деревья]], в которых ключи выбираются равными глубине вершины.  Тогда операции <tex>\mathrm{cut будут }</tex> будет соответствовать <tex>\mathrm{split}</tex>. <tex>\mathrm{link(path1, path2)}</tex> соединяет голову первого пути с хвостом второго. Используем функцию <tex>\mathrm{merge (path2, path1)}</tex>, которая вызовет <tex>\mathrm{splay}</tex> от хвоста второго пути и splitсделает первый путь правым ребенком корня <tex>\mathrm{path2}</tex>, то есть теперь <tex>\mathrm{path1}</tex> находится ниже, чем <tex>\mathrm{path2}</tex>.

При прибавлении <tex>\alpha</tex> на пути от вершины <tex>v</tex> до корня, сначала вызывается <tex>\mathrm{splay(v)}</tex>, после чего в левом поддереве находятся вершины, которые лежат на пути к корню. Затем надо прибавить <tex>\alpha</tex> к <tex>\Delta w(v)</tex> и, чтобы сохранить веса вершин, которые находятся ниже в пути, вычесть <tex>\alpha</tex> от <tex>\Delta w(right(v.right))</tex>.[[Файл:Linkcut_weights.png|250px|thumb|right|]]

Для реализации <tex>\min(</tex> будем хранить минимум уже для всего поддерева. Чтобы искать минимум от вершины <tex>v) = min</tex>, надо вызвать <tex>\mathrm{wsplay(v)}</tex> и сравнить её вес с минимумом левого поддерева, в котором теперь находятся все вершины пути кроме <tex>v</tex>. Определим <tex>\Delta \ min(lv)</tex> таким образом, чтобы сохранялся следующий инвариант: <tex>\ min(rv)= \}Delta \min (v) + w(v) </tex>. Пусть <tex>l</tex> и <tex>r</tex> дети <tex>v</tex>, тогда

<tex>\Delta min(v) = min(v) - w(v) \\= min\{w(v) - w(v), \ min(l) - w(v), \ min(r) - w(v)\} \\= min\{0, \ (\Delta min(l) + w(l)) - w(v), \ (\Delta min(r) + w(r)) - w(v)\} \\= min\{0, \ \Delta min(l) + \Delta w(l), \ \Delta min(r) + \Delta w(r)\}</tex>

Чтобы найти минимум на пути, надо вызвать <tex>splay\Delta \min(v) = \min(v) - w(v) \\= \min\{w(v) - w(v), \min(l) - w(v), \min(r) - w(v)\} \\= \min\{0, \ (\Delta \min(l) + w(l)) - w(v)</tex>, а затем сравнить минимум <tex>\ (\Delta \min(r) + w(r)) - w(v)\} \\= \min\{0, \ \Delta \min(l) + \Delta w(l), \ \Delta \min(r) + \Delta w(r)\}</tex> и минимум её левого ребенка [[Файл:Linkcut_weights.png|500px]]

Чтобы обобщить, разобьем дерево на множество непересекающихся путей. Каждое ребро обозначим либо solid-ребромсплошным, либо dashed-ребромпунктирным. Все пути в представляемом link-cut дереве хранятся в виде splay-деревьев. Корень каждого splay-дерева хранит указатель на вершину-родителя. В дальнейшем будем называть этот указатель <tex>pathparent</tex>.

Ключевая операция в link-cut-деревьях {{---}} <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. После её выполнения <tex>u</tex> лежит на одном пути с корнем представляемого link-cut дерева и при этом становится корнем в splay-дереве получившегося пути. Для этого она поднимается вверх по link-cut дереву, и если какой-нибудь путь пересекает путь от <tex>u</tex> до корня, то она его отрезает, разъединяя splay-дерево и делая соответствующее сплошное ребро пунктирным ребром.

'''function''' expose(u: '''tree'''):

v <- tex>=</tex> u '''while (''' v != <tex> \ne </tex> root) p <- tex>=</tex> pathparent(v) <font color=green>//получаем указатель на ближайшую вершину пути, пересекающего путь от u до корня</font> splay(p) <font color=green>//теперь в правом поддереве p находятся вершины пути, которые находятся ниже чем p в link-cut-дереве,</font> parent(right(p)) <- tex>=</tex> null <font color=green>//поэтому правое поддерево p делаем новым путем</font> pathparent(right(p)) <- tex>=</tex> p right(p) <- tex>=</tex> v <font color=green>//объединяем оставшийся и построенный пути</font> Δw<tex>\vartriangle</tex>w(v) -= Δw<tex>\vartriangle</tex>w(p) Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(p) <tex>= </tex> min{0, Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(left(p)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(left(p)), Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(right(p)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(right(p))} pathparent(v) <- tex>=</tex> null v <- tex>=</tex> p

Чтобы прибавить константу на пути от <tex>v</tex> до корня link-cut-дерева вызовем <tex>\mathrm{expose(v)}</tex>, что построит запрашиваемый путь в виде splay-дерева, в котором <tex>v</tex> {{- --}} корень, и в левом поддереве находятся вершины, которые находятся выше чем <tex>v</tex> в link-cut-дереве (то есть все вершины пути без <tex>v</tex>), а в правом {{--- }} те, что ниже. Тогда прибавим <tex>c</tex> к <tex>\Delta w(v)</tex> и вычтем константу от правого ребенка <tex>v</tex>, чтобы скомпенсировать разницу и сохранить инвариант.

'''function''' add(v: '''tree''', c: '''int'''):

Δw<tex>\vartriangle</tex>w(v) += c Δw<tex>\vartriangle</tex>w(right(v)) -= c 

Построим splay-дерево для пути и сравним минимум вес корня <tex>v</tex> c минимумом в левом поддереве: '''function''' min(v: '''tree'''): '''int'''

'''if (Δmin''' <tex>\vartriangle</tex>min(left(v)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) < Δw<tex>\vartriangle</tex>w(v)) then '''return Δmin''' <tex>\vartriangle</tex>min(left(v)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) '''else''' '''return Δw''' <tex>\vartriangle</tex>w(v)

Если <tex>v</tex> {{- --}} корень, а <tex>u</tex> {{--- }} вершина в другом дереве, то <tex>\mathrm{link(v, u)}</tex> соединяет два дерева добавлением ребра <tex>(v, u)</tex>, причем <tex>uv</tex> становится родителем <tex>vu</tex>.

'''function''' link(v: '''tree''', u: '''tree'''): '''tree''' expose(v) <font color=green> //теперь v {{- --}} корень в splay-дереве пути и не имеет левого ребенка(так как ключ равен глубине в представляемом link-cut дереве)</font>

Δw<tex>\vartriangle</tex>w(u) -= Δw<tex>\vartriangle</tex>w(v) <font color=green>//чтобы сделать u родителем v в представляемом link-cut дереве 1. делаем путь, содержащий u, левым ребенком v в splay-дереве</font> parent(u) <tex>= </tex> v <font color=green>// 2. обновляем Δw<tex>\vartriangle</tex>w, Δmin<tex>\vartriangle</tex>min</font> left(v) <tex>= </tex> u Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>= </tex> min{0, Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(u) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(u), Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w((right(v)))} '''return''' v

Отрезает дерево с корнем <tex>v</tex>. После вызова <tex>\mathrm{expose(v) \ }</tex> вершина <tex>v</tex> станет корнем splay-дерева, и в правом поддереве будут содержатся содержаться все вершины, которые были ниже <tex>v</tex> в представляемом link-cut дереве, а в левом {{--- }} те что выше. Обнулив указатель на левого ребенка <tex>v</tex> и на родителя в левом поддереве, получим требуемое.

'''function''' cut(v: '''tree'''):

Δw<tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) += Δw<tex>\vartriangle</tex>w(v) Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>= </tex> min{0, Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(right(v))} parent(left(v) ) <tex>= </tex> null parent(left(v)) <tex>= </tex> null

Назовем ребро из <tex>u</tex> в её родителя <tex>v</tex> тяжелым, если количество детей <tex>u</tex> равное <tex>d(u) > \fracdfrac{1}{2} d(v)</tex>.

|statement= На пути от вершины до корня не больше <tex>\log(n)</tex> легких ребер.  |proof = Пусть <tex>m</tex> {{---}} количество вершин в дереве с корнем в вершине, в которой мы сейчас находимся. Поднимаясь по легкому ребру, <tex>m</tex> увеличивается в два раза, поэтому, пройдя больше <tex>\log n</tex> легких ребер, получим <tex>m > n</tex>. Значит, в дереве не больше <tex>\log n</tex> легких ребер. }}

Операция <tex>\mathrm{expose(u)}</tex> осуществляется с помощью последовательности преобразований dashed-пунктирного ребра в solid-сплошное ребро и другого solid-сплошного ребра в dashed-пунктирное ребро. Обозначим количество таких преобразований за <tex>M</tex>. Найдем количество преобразований сделанных в течение <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. Пусть <tex>H</tex> {{--- }} множество всех тяжелых ребер, <tex>L</tex> {{- --}} все легкие ребра, <tex>S \rightarrow D</tex> {{--- }} множество solid-сплошных ребер, преобразованных в dashed пунктирные в течение одного <tex>\mathrm{expose}</tex>, <tex>D \rightarrow S</tex> {{- --}} множество dashed-пунктирных ребер, преобразованных в solidсплошные.

По лемме, количество легких dashed-пунктирных ребер, преобразованных в solidсплошные, будет не больше, чем <tex>\log n</tex>.

Обозначим за <tex>F</tex> лес деревьев, в которых каждое ребро либо solidсплошное, либо dashedпунктирное, a <tex>F'</tex> {{--- }} лес, получившийся из <tex>F</tex> после одного вызова <tex>\mathrm{expose}</tex>. Определим потенциал <tex>\Phi _{a}(F) = n - 1 - |\{H \cap solid-edges\}|</tex>, <tex>\Delta \Phi _{a}</tex> {{- --}} увеличение <tex>\Phi _{a}</tex> после одной операции <tex>\mathrm{expose}</tex>.

= 2 \times cdot |L \cap D \rightarrow S| \\=2 \times cdot \log n

Теперь проанализируем <tex>M</tex>. Используя тот факт, что начальное значение <tex>\Phi _{a}</tex> не превосходит <tex>n - 1</tex>, приходим к тому, что для деревьев с <tex>n</tex> вершинами, по крайней мере за <tex>n - 1</tex> операцию <tex>\mathrm{expose}</tex>, среднее <tex>M</tex> на одну операцию будет не больше, чем <tex>1 + 2\log n</tex>. Докажем, что [[Амортизационный анализ|амортизационная стоимость операции]] <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>. Пусть <tex>s(v)</tex> {{---}} количество вершин в поддеревьях <tex>v</tex> ( здесь имеется в виду splay-дерево пути, который строится в ходе выполнения <tex>\mathrm{expose}</tex>), <tex>r(v) = \log s(v)</tex>. По [[Splay-дерево#Lemma1|лемме]] стоимость ''i''-той операции <tex>\mathrm{splay}</tex> не превосходит <tex>1 + 3 \cdot (r(t) - r(v))</tex>. Это приводит к тому, что амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> ограничена следующим значением: <tex>3 \cdot \log n - 3 \cdot \log (s(v)) + M</tex> Здесь <tex>M = O(\log n)</tex>, поэтому амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>. ==Применение=====LCA===C помощью link-cut-дерева можно найти наименьшего общего предка: '''function''' lca(u: '''tree''', v: '''tree'''): '''tree''' expose(u) expose(v) '''return''' pathparent(splay(u)) Первый вызов <tex>\mathrm{expose}</tex> построит путь от <tex>u</tex> до корня. Второй пересечет этот путь в наименьшем общем предке, поэтому в splay-дереве, которому принадлежит <tex>u</tex>, хранится указатель <tex>pathparent</tex> на <tex>\mathrm{lca}</tex>, после <tex>\mathrm{splay}(u)</tex> он будет находиться в <tex>u</tex>.

Докажем, что амортизационная стоимость операции <tex>expose</tex> равна <tex>==См. также==* [[Метод двоичного подъема]]* [[Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(log(n)1)</tex>в оффлайн]]* [[Алгоритм Шибера-Вишкина]]

Пусть <tex>s(v)<==Источники информации==* [http://www.lektorium.tv/lecture/14464 А.С. Станкевич, "Дополнительные главы алгоритмов"]* [https://sites.google.com/site/indy256/algo/tex> link- количество вершин в поддеревьях <tex>v<cut-tree-lca Реализация LCA на link-cut дереве]* [http:/tex> (здесь имеется в виду splay/www.cs.cmu.edu/~sleator/papers/dynamic-дерево путиtrees.pdf D. Sleator and R. Tarjan, котоый строится в ходе выполнения <tex>expose<"A Data Structure for Dynamic Trees"]* [http://tex>), <tex>r(v) = log(s(v))<compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/teaching/datastructures/2006/notes/tex>07-linkcut.pdf Jeff Erickson. Lecture 7. По [Link-Cut Trees]* [http://planarity.org/Klein_splay_trees_and_link-cut_trees.pdf Optimization Algorithms for Planar Graphs. Splaytrees and link-дерево#Lemma1|леммеcut trees]] стоимость ''i''-той операции <tex>splay<* [http:/tex> не превосходит <tex>1 + 3 \times (r(t) - r(v))</tex>en. Это приводит к тому, что амортизационная стоимость <tex>expose<wikipedia.org/wiki/Link/cut_tree Wikipedia {{---}} Link/tex> ограничена следующим значением:cut tree]