Изменения

Пусть <mathtex> G </mathtex> {{- --}} связный граф.

'''Мост''' ''(1англ. bridge) Мост '' графа <mathtex>G</mathtex> {{--- }} ребро, соединяющее как минимум две компоненты [[Отношение рёберной двусвязности|реберной двусвязности ]] <mathtex>G</mathtex>. <tex>(1)</tex>

(2) Мост графа <mathtex>G</mathtex> {{- --}} ребро, при удалении которого граф <mathtex>G</mathtex> становится несвязным. <tex>(2)</tex>

(3) Ребро <mathtex>x</mathtex> является мостом графа <mathtex>G</mathtex>, если в <mathtex>G</mathtex> существуют такие вершины <mathtex>u</mathtex> и <mathtex>v</mathtex>, что любой простой путь между этими вершинами проходит через ребро <mathtex>x.</mathtex> <tex>(3)</tex>

(4) Ребро <mathtex>x</mathtex> является мостом графа <mathtex>G</mathtex>, если существует разбиение множества вершин <mathtex>V</mathtex> на такие множества <mathtex>U</mathtex> и <mathtex>W</mathtex>, что <mathtex>\forall u \in U</mathtex> и <mathtex>\forall w \in W</mathtex> ребро <mathtex>x</mathtex> принадлежит любому простому пути <mathtex>u \rightsquigarrow w</mathtex>. <tex>(4)</tex>

<mathtex>(1) \Rightarrow (2)</tex> Пусть ребро <tex>x</tex> соединяет вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Пусть граф <tex> G - {x} </tex> {{---}} связный. Тогда между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существует еще один путь, т.е. между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существуют два реберно-непересекающихся пути. Но тогда ребро <tex>x</tex> не является мостом графа <tex>G</tex>. Противоречие. <tex>(2) \Rightarrow (4)</mathtex> В условиях определения (4) пусть существует существуют такие вершины <mathtex>u</mathtex> и <mathtex>w</mathtex>, что между ними существует простой путь <mathtex>P: x \notin P</mathtex>. Но тогда граф <mathtex>G - {x}</mathtex> {{--- }} связный. Противоречие.

<mathtex>(4) \Rightarrow (3)</mathtex> Возьмем <mathtex>\forall u \in U</mathtex> и <mathtex>\forall w \in W </mathtex>. Тогда <mathtex>\forall</mathtex> простой путь <mathtex>u \rightsquigarrow w</mathtex> содержит ребро <mathtex>x</mathtex>. Утверждение доказано

<mathtex>(3) \Rightarrow (1)</mathtex> Пусть <mathtex>(a, b) = x</mathtex>. Пусть ребро <mathtex>x</mathtex> не является мостом по определению (1).Тогда между вершинами <mathtex>a</mathtex> и <mathtex>b</mathtex> есть простой путь <mathtex>P : P \and cap x = \varnothing</mathtex>. Составим такой путь <mathtex>Q</mathtex>, что <mathtex>Q = ((u \rightsquigarrow wa ) \or circ P\circ (b \rightsquigarrow w)) - x</mathtex>. Заметим, что он будет без разрывов. Сделаем путь <mathtex>Q</mathtex> [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути|простым (пройти по пути <math>Q</math>, удаляя все повторяющиеся вершины)]]. Получим простой путь <mathtex>(u \rightsquigarrow w)</mathtex>, не проходящий по ребру <mathtex>x</mathtex>. Противоречие.