1632
правки
Изменения
м
'''{{ Задача о расстановке знаков в выражении''' — задача о нахождении максимального значения выражения, полученного расстановкой знаков |definition = Пусть задана последовательность неотрицательных чисел <tex dpi = "120130">+a_1, a_2, \ldots, a_n \ (a_i \timesgeqslant 0)</tex> и скобок в последовательности . Требуется расставить знаки <tex dpi = "130120">a_1, a_2+, \dots, a_n \ (a_i \ge 0)times</tex>и скобки в последовательности, чтобы значение полученного арифметического выражения было максимальным.}}
'''for ''' i := n - 1 '''downto ''' 1 do: '''for ''' j := i + 1 '''to ''' n do: '''for ''' k := i '''to ''' j - 1 do: d[i][j] := max(d[i][j], max(d[i][k] + d[k+1][j], d[i][k] * d[k+1][j])); write( '''return''' d[1][n]); // вывод ответа
rollbackEdits.php mass rollback
== Решение ==
Данная задача решается с использованием [[Динамическое_программирование | принципа оптимальности на подотрезкеподотрезках]]. Введём матрицу <tex>d</tex> размером <tex>n \times n</tex>, где <tex>d[i][j]</tex> будет равен максимальному значению, достигаемому на подотрезке <tex dpi = "130">a_i, a_{i+1}, \dotsldots, a_j</tex>.
Получаем следующие соотношения: <br />
* <tex>d[i][i] = a_i </tex><br />
* <tex>d[i][j] = \max\limits_{\mathop{k = i..j-1}}[\max(d[i][k]+d[k+1][j], d[i][k] \times cdot d[k+1][j])] \ (i < j)</tex> <br />
Вычислим элементы таблицы <tex>d</tex>, тогда ответом на задачу будет значение <tex>d[1][n]</tex>.
== Доказательство ==
Рассмотрим ее, например, в такой формулировке. В арифметическом выражении, операндами которого являются целые числа, а операциями — бинарные арифметические операции <tex>+</tex> и <tex>\times</tex>, расставить скобки так, чтобы результат оказался максимальным.
Подзадачами, через которые мы будем выражать оптимальное решение, будут задачи об оптимальной расстановке скобок в произведениях наших операндов, начиная с <tex>i</tex>-го и заканчивая <tex>j</tex>-м. Запоминать результат оптимального решения соответствующей подзадачи мы будем в элементе <tex>d[i, j]</tex> матрицы, размером <tex>n\times n</tex>, диагональные элементы которой <tex>(d[i, i])</tex> равны операндам, а для <tex>i > j</tex> все элементы равны <tex>0</tex>. Пусть мы хотим подсчитать значение арифметического выражения для операндов, начиная с <tex>i</tex>-го и заканчивая <tex>j</tex>-м для <tex>i < j</tex>. Если мы предположим, что последней будет выполняться арифметическая операция, расположенная после операнда с номером <tex>k (k < j)</tex> и эта операция — сложение, то результат подсчета будет равен сумме элементов <tex>d[i, k]</tex> и <tex>d[k+1, j]</tex> нашей матрицы. С умножением ситуация несколько более сложная. Так как операндами могут быть и отрицательные числа, то для нахождения максимума из произведений нужно знать не только максимальные, но и минимальные значения для арифметических операций над операндами с <tex>i</tex>-го по <tex>k</tex>-й и с <tex>k+1</tex>-го по <tex>j</tex>-й соответственно. Значит для любой последовательности операндов нужно хранить значение как максимально, так и минимально возможного результата выполнения арифметических операций над ними. Однако, дополнительная матрица для хранения минимальных значений не нужна. Так как для <tex>i > j</tex> матрица <tex>d</tex> не заполнена, мы можем отвести эти элементы для хранения минимумов, только запоминать результат решения этой подзадачи для операндов, начиная с <tex>i</tex>-го и заканчивая <tex>j</tex>-м, мы будем в элементе <tex>d[j, i]</tex>. Тогда в общем случае, если после k-го операнда стоит операция умножения, то максимальный результат будет равен <tex>max(d[i][j], max(d[i][k] + d[k+1][j], d[i][k] \cdot d[k+1][j]))</tex>;
== Реализация ==
<font color = "green">// d - матрица как в описании; a - заданная последовательность из n элементов; i, j, k - счётчики</font>
'''int maxValueOfExpression'''(a, n): '''for ''' i := 1 '''to ''' n do: d[i][i] := a[i];
== Пример ==
Пусть дана последовательность <tex>2, 1, 1, 2</tex>. Таблица <tex>d</tex> для неё будет выглядеть так: :{| border = 1; class="wikitable" cellpadding|-align ="center"| | <tex>j = 1</tex> | <tex>j = 2</tex> | <tex>j = 3</tex> | <tex>j = 4</tex> |-align = " bordercenter"| <tex>i = 1</tex> | <tex>2</tex> | <tex>3</tex> | <tex>4</tex> | <tex>9</tex> |-align ="center"| <tex>i = 2</tex> | <tex>0</tex> | <tex>1</tex> | <tex>2</tex> | <tex>4</tex> |-align = " stylecenter"| <tex>i = 3</tex> | <tex>0</tex> | <tex>0</tex> | <tex>1</tex> | <tex>3</tex> |-align ="bordercenter"| <tex>i = 4</tex> | <tex>0</tex> | <tex>0</tex> | <tex>0</tex> | <tex>2</tex> |} == Восстановление ответа ==С помощью описанного выше алгоритма можно восстановить оптимальное арифметическое выражение. Для этого нужно в таблице <tex>d</tex> хранить каким способом был получен оптимальный ответ. То есть будем хранить <tex>index</tex> {{---}} границу раздела на 2 подотрезка <tex>(i \ldots index</tex> и <tex>index + 1 \ldots j)</tex> и <tex>operation</tex> {{---collapse}} операцию совершенную над двумя отрезками (<tex>+, \times</tex>). В итоге для каждого отрезка мы будем знать какой знак и куда поставить. Для простоты будем заключать каждый полученный подотрезок в скобки. Таким образом мы получим выражение, в котором полностью расставлены скобки. Для вышеприведенного примера таблица будет выглядеть так: collapse :{| border = 1;class="wikitable"|-align = "center"| <tex>index</tex> || <tex>j = 1 </tex> || <tex>j = 2 </tex> || <tex>j = 3 </tex> || <tex>j = 4</tex> |-align = "center"| <tex>i = 1 </tex> | <tex>-</tex> | <tex>1</tex> | <tex>1</tex> | <tex>2</tex> |-align = "center"| <tex>i = 2</tex> | <tex>-</tex> | <tex>-</tex> | <tex>2 </tex> | <tex>3</tex> | -align = "center"| <tex>i = 3 </tex> | <tex>-</tex> | 4 <tex>-</tex> | <tex>-</tex> | 9 <tex>3</tex> |-align = "center"| <tex>i = 2 4</tex> | <tex>-</tex> | <tex>-</tex> | 0 <tex>-</tex> | <tex>-</tex> |} :{| border = 1 ; class="wikitable"|-align = "center"| <tex>operation</tex> | <tex>j = 1</tex> | <tex>j = 2 </tex> | <tex>j = 3</tex> | <tex>j = 4</tex> |-align = "center"| <tex>i = 3 1</tex> | | 0 <tex>+</tex> | <tex>\times</tex> | 0 <tex>\times</tex> |-align = "center"| <tex>i = 2</tex> | 1 | | 3 <tex>+</tex> | <tex>\times</tex> |-align = "center"| <tex>i = 4 3</tex> | | | | 0 <tex>+</tex> |-align = "center"| 0 <tex>i = 4</tex> | | 0 | | 2
|}
После того, как посчитана динамика, можно рекурсивно восстановить ответ:
*Если длина текущего отрезка равна <tex> 1 </tex>, выходим из рекурсии
*Оборачиваем текущий отрезок <tex> l \ldots r </tex> в скобки
*Ставим после элемента последовательности на позиции <tex> d[l][r].index </tex> знак <tex> d[l][r].operation </tex>
*Рекурсивно запускаем от отрезков <tex> l \ldots d[l][r].index </tex> и <tex> d[l][r].index + 1 \ldots r </tex>
Таким образом ответ <tex> ((2+1)\times(1+2))</tex>
== Решение задачи без возможности использования скобок ==
При условии задачи, в котором запрещено использовать скобки, вышеописанный алгоритм будет работать некорректно. Дело в том, что если на отрезке <tex>k\ldots j</tex> была использована операция сложения, то мы не можем перемножить результаты на отрезке <tex>i\ldots k - 1</tex> и отрезке <tex>k\ldots j</tex>. Для решения этой проблемы будем использовать две матрицы <tex>d</tex> {{---}} такую же как и раньше, а также <tex>p</tex> <tex>(p[i][j]</tex> {{---}} произведение чисел <tex dpi = "130">a_i, a_{i+1}, \ldots, a_j)</tex>. Тогда получим новую формулу пересчета динамики:
<br />
* <tex>d[i][j] = \max\limits_{\mathop{k = i..j-1}}[\max(d[i][k] + d[k + 1][j], p[i][k] \cdot p[k + 1][j])] \ (i < j)</tex> <br />
== См. также ==
*[[Задача о порядке перемножения матриц | Задача о порядке перемножения матриц]]
*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности | Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]
== Источники информации==
*[http://fvn2009.narod.ru/Olympiads/Rules_Olympiads/Rules22.htm Олимпиадные задачи и решения {{---}} Классические задачи динамического программирования]
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — с. 459. — ISBN 5-8489-0857-4
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Динамическое программирование]]
