Изменения

|definition = Дана {{Acronym | перестановка | на самом деле может быть и мультиперестановкой }} <tex>\pi</tex> множества <tex>~\{1, 2,~\dots,~n\}</tex>. Требуется найти [[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности | НВП]] <tex>\pi</tex> за <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex>, где <tex>k</tex> — длина НВП.

== Алгоритм за O(n log log n) ==

Пусть <tex>\pi(n){\pi_1,\pi_2,~\dots,~\pi_n\}</tex> — входная перестановка.

Для каждой длины Будем последовательно обрабатывать элементы в порядке <tex>l = 1\pi_1, 2\pi_2, ~\dots</tex> предполагаемой НВП находим наименьший {{Acronym | элемент| назовем его лучшим элементом для заданной длины }}, что может быть последним в возрастающей подпоследовательности длины <tex>l</tex>, запишем их в массив <tex>B[l]~\pi_n\colon</tex>.

Если обрабатываемый элемент Для каждой длины <tex>l = 1, 2,~\pi(i)dots,~n</tex> больше последнего элемента какой-нибудь возрастающей последовательностипредполагаемой НВП находим наименьший элемент, он который может ее увеличитьбыть последним в возрастающей подпоследовательности длины <tex>l</tex> и запишем его в массив <tex>B_l</tex>. Будем называть его наилучшим элементом для длины <tex>l</tex>.

Будем последовательно обрабатывать элементы * Если <tex>\pi(1)pi_i</tex> больше каждого элемента <tex>B</tex>, вычисленного для подпоследовательности <tex>\pi_1, \pi(2)pi_2,~\dots~,\pi_{i-1}</tex>, тогда с ним можно сделать возрастающую подпоследовательность максимальной длины из уже рассмотренных, в которой он будет последним элементом. Значит,~записываем его в конец <tex>B</tex>.* Иначе <tex>\pi_i</tex> будет наилучшим элементом для уже существующей длины и сможет улучшить только один элемент в <tex>B</tex>, тогда мы находим наименьшее <tex>k\colon B_k > \pi_i</tex> и заменяем <tex>B_k</tex> элементом <tex>\pi(n)pi_i</tex>:.

* Если <tex>\pi(i)</tex> больше {{Acronym | <tex>\pi(1), \pi(2),~\dots~,\pi(i-1)</tex> | всех уже полученных значений B }}, значит с ним можно сделать максимальную, из уже рассмотренных, возрастающую подпоследовательность. Записываем его в конец <tex>B</tex>.* Иначе <tex>\pi(i)</tex> заменяет наименьший лучший элемент, из тех, что больше <tex>\pi(i)</tex>. Следует отметить, что полученный массив также образует возрастающую последовательность, где на котором мы должны выполнять операции <tex>\mathrm{insert}, \mathrm{next}, \mathrm{delete}</tex>, соответственно целесообразно использовать [[ Приоритетные очереди | приоритетную очередь]], реализованную через [[Дерево ван Эмде Боаса]]. Таким образом получаем Так как данная структура данных производит описанные операции за <tex>O(\operatorname{log} k)</tex>, где k — количество бит чисел, которые позволяет хранить дерево, то полученный алгоритм работает за <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log} n)</tex> амортизированного времени на одну операцию, потому что все элементы последовательности не превосходят n.

===== ''' Типы операций ====='''

| <tex>9 </tex> || <tex>3 </tex> || <tex>10 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>8 </tex> || <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>12 </tex> || <tex>6 </tex> || <tex>5 </tex> || <tex>7 </tex> || <tex>11</tex>

===== ''' Состояние очереди при каждом добавлении ====='''

| style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>9 </tex> || || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>9</tex>

| style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>3 </tex> || || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>3</tex>

| <tex>3 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>10 </tex> || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>10</tex>

| <tex>3 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>4 </tex> || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>4</tex>

| <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>8</tex>

| style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>1 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>1</tex>

| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>2 </tex> || <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>2</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>8 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>12</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>6 </tex> || <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>6</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>5 </tex> || <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>5</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>5 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>7 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>7</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>5 </tex> || <tex>7 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>11 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>11</tex>

<code> '''int''' LIS(<tex>\pi</tex>[n]) '''PriorityQueue''' B <font color=darkgreen>// рабочая приоритетная очередь</font> '''int''' k = 0 <font color=darkgreen>// длина НВП</font> '''for''' i = 1 '''to''' n x = <tex>\pi</tex>[i] <font color=darkgreen>// в любом случае добавляем в очередь очередной элемент</font> <font color=darkgreen>// устаревшие будем удалять</font> B.insert(x) '''if''' <tex>\exists</tex> B.next(x) <font color=darkgreen>// добавленный элемент — не максимальный</font> <font color=darkgreen>// удаляем предыдущее следующее за x значение — заменяем {{Acronym |следующий|минимальный из бóльших}}</font> B.delete(B.next(x)) '''else''' <font color=darkgreen>// добавленный элемент — максимальный</font> <font color=darkgreen>// предыдущие значения не трогаем, очередь увеличилась</font> k = k + 1 '''return''' k</code>

Тогда, выбрав какой-нибудь лучший элемент для максимальной длиныпройдя по предшественникам, начиная с последнего элемента очереди <tex>B</tex>, мы можем легко {{Acronym | восстановить НВП | вообще говоря, не все }}.

| <tex>9 </tex> || || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>9</tex>

| <tex>3 </tex> || || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>3</tex>

| <tex>3 </tex> || <tex>10 </tex> || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>10</tex>

| <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>4</tex>

| <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>8</tex>

| style="background:#FFCC00FFDF90"| <tex>1 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>1</tex>

| style="background:#FF7F00FFCFCF"|<tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFDF90"| <tex>2 </tex> || <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>2</tex>

| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFDF90"|<tex>2 </tex> || <tex>8 </tex> || <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>12</tex>

| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFDF90"|<tex>2 </tex> || <tex>6 </tex> || <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>6</tex>

| <tex>1 </tex> || style="background:#FF7F00FFCFCF"|<tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFDF90"| <tex>5 </tex> || <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>5</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FF7F00FFCFCF"| <tex>5 </tex> || style="background:#FFCC00FFDF90"| <tex>7 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>7</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>5 </tex> || style="background:#FF7F00FFCFCF"| <tex>7 </tex> || style="background:#FF7F00FFCFCF"| <tex>11 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>11</tex>

{| class="wikitable" align="leftborder" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"

! <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>5 </tex> || <tex>6 </tex> || <tex>7 </tex> || <tex>8 </tex> || <tex>9 </tex> || <tex>10 </tex> || <tex>11 </tex> || <tex>12 </tex>

| || <tex>1 </tex> || || <tex>3 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>5 </tex> || <tex>4 </tex> || || <tex>3 </tex> || <tex>7 </tex> || <tex>8</tex>

<code> '''int[]''' LIS(<tex>\pi</tex>[n]) '''PriorityQueue''' B '''int''' k = 0 <font color=blue>'''int''' predecessor[n]</font> <font color=darkgreen>// резервируем <tex>n</tex> позиций</font> '''for''' i = 1 '''to''' n x = <tex>\pi</tex>[i] B.insert(x) <font color=blue>predecessor[x] = B.prev(x)</font> '''if''' <tex>\exists</tex> B.next(x) B.delete(B.next(x)) '''else''' k = k + 1 <font color=darkgreen>// по цепочке от последнего элемента // восстанавливаем НВП</font> <font color=blue>'''int''' result[k] '''int''' cur = B.max '''for''' i = k - 1 '''downto''' 0 result[i] = cur cur = predecessor[cur] '''return''' result</font></code>

=== Основная идея ===

Предположим, мы знаем такое {{Acronym|приближение числа <tex>k</tex>|далее рассмотрим нахождение и насколько оно точное}} числом <tex>m: m \geqslant k</tex>. Если мы разобьем всю последовательность на блоки из {{ Acronym|<tex>m</tex> элементов|последний блок может быть меньше}} и нам удастся обрабатывать каждый как перестановку из <tex>m</tex> элементов, то мы получим асимптотическое время <tex>O(n \operatorname{log} \operatorname{log} (k + m))</tex>, а т.к. <tex>m \geqslant k</tex>, то <tex>O(n \operatorname{log} \operatorname{log} m)</tex>. (Мы будем обрабатывать блоки последовательнообсудим, т.е. с предыдущего блока у нас может остаться <tex>kкак найти такое </tex> значений в очереди, которые дополняются <tex>m</tex> значениями очередного блока — получаем верхнее ограничение в <tex>k + m</tex> обрабатываемых возможных значенийпозже.)

'''''Описанный здесь Во время обработки ключей элементов описанный выше алгоритм подбора <tex>m_i\mathrm{LIS}</tex> работает только с очередью <tex>B</tex> и получение асимптотической оценки не зависит от предыдущих элементов последовательности, которые не находятся в очереди. Поэтому, если мы разобьем всю последовательность на блоки из <tex>m</tex> элементов (последний блок может быть меньше), и нам удастся обрабатывать каждый как перестановку из <tex>m</tex> элементов, сохраняя очередь <tex>B</tex> для вычисленных ранее блоков, то мы получим асимптотическое время <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log}(k + m))</tex>, а так как <tex>m \geqslant k</tex>, то <tex>O(n \operatorname{log} \operatorname{log} m)</tex> в других подразделах рассмотрено не будет. (Мы будем обрабатывать блоки последовательно, т.ке. с предыдущего блока у нас может остаться <tex>k</tex> значений в основном это доказательствоочереди, сложного для пониманиякоторые дополняются <tex>m</tex> значениями очередного блока — получаем верхнее ограничение в <tex>k + m</реализации ничего нет'''''tex> обрабатываемых возможных значений.)

Рассмотрим последовательность === Деление на блоки===Последовательность <tex>S</tex> делится на блоки <tex>\{m_0C_j,~m_1j=1,~m_2\dots,~\dotslceil\frac{n}{m}\rceil</tex>, где :<tex> m_C_j=(\pi_{i(j-1)m+1} = m_i ^{,\operatornamepi_{log(j-1)m+2}m_i} = 2^{,~\dots~,\operatornamepi_{log}^2m_i(j-1)m+m)})</tex>, <tex>m_0</tex> — некоторое значение, меньшее <tex>k</tex>.

Будем последовательно для элементов этой последовательности запускать {{Acronym|алгоритм|о котором ниже}}. Если условие <tex>m \geqslant k</tex> перестает выполняться, прерываем выполнение. Таким образом, время работы для каждого Обозначим за <tex>m_jC_j^s</tex> будет отсортированный блок <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log}m_j)C_j</tex>. {{Acronym|Найдется|первый из подобных}} такой <tex>m_i</tex>, который окажется больше <tex>k</tex>, Отсортированные и алгоритм успешно завершитсянеотсортированные блоки будем хранить в памяти.

[[Цифровая сортировка]] каждого блока отдельно будет давать нам время работы <tex>O \operatorname{log}left(\operatornamedfrac{logn}m_{i+1m} n \right) = O \operatorname{log}left(\operatornamedfrac{log}n^2^{\operatorname{log}^2m_i} = \operatorname{logm}\operatorname{log}^2m_i = 2right)</tex>. Дополним каждый элемент <tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_ipi</tex> номером блока, в котором он находится и смещением в этом блоке. Теперь, рассматривая номер блока как старший разряд, элемент как младший разряд (по смещению внутри блока не сортируем), можно сортировать цифровой сортировкой за линейное время <tex>O(n)</tex>, потому что значения элементов и номера блоков не превосходят <tex>n</tex>.

Перестановка смещений, образованная в сортированном блоке есть не что иное, как обратная перестановка перестановки <tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_j = 2^{j-i}\operatorname{log}\operatorname{log}m_i</tex> {{Acronym|Общее время|для всех обработанных значений m}} работы — <tex>O(n(\sum\limits_{j = 0}\limits^{i}2^{1-j})\operatorname{log}\operatorname{log}m_i) = O(n\operatorname{log}\operatorname{log}m_i)xi</tex>, элементы которой соотносятся между собой как элементы исходного блока. Т.е. Заметим, что если элемент <tex>m_i < k^{\operatorname{log}k}pi</tex>, т.к. находится в исходной перестановке в противном случае блоке <tex>m_{i-1} > kC_j</tex>, что противоречит тому, что на позиции <tex>m_ii</tex> — первый из тех, что больше то в блоке <tex>kC_j^s</tex>. Следовательно, он на позиции <tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_i < 2\operatorname{log}\operatorname{log}k \xi_i</tex>.

Получаем время работы <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex>.=== Деление на блоки ======= Основная идея Пример====Разделим исходную перестановку Предположим, что <tex>\pi</tex> на блоки <tex>C_j m= \{\pi_{(j-1)m + 1},~\pi_{(j-1)m + 2},~\dots, ~\pi_{(j-1)m + m}\}5</tex>.Исходно получаем:

| Блок ||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>3</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>3</tex>

|<tex>\pi</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>9</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>10</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>8</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>12</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>6</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>7</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>11</tex>

|Смещение||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>2</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>5</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>3</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>4</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>2</tex>

|Блок ||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>3</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>3</tex>

|<tex>\pi</tex> ||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>8</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>9</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>10</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>6</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>12</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>7</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>11</tex>

|Смещение ||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>2</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>5</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>4</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>3</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>2</tex>

! colspan="5"|<tex>1 </tex> || colspan="5"|<tex>2 </tex> || colspan="3"|<tex>3</tex>

| style="background:#FFD0D0"|<tex>4</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>1</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>5</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>2</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>3 </tex>| style="background:#D0FFD0"|<tex>1</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>2</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>5</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>4</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>3 </tex> | style="background:#D0D0FF"|<tex>1</tex>||style="background:#D0D0FF"|<tex>2</tex>

Обрабатывая блок, каждому элементу <tex>x</tex> внутри этого блока взаимно однозначно сопоставим ключ <tex>y =\mathtt{key}(x);~x=== Основная идея ====\mathtt{elt}(y)</tex> так, чтобы их значения находились в промежутке <tex>\{1,2,\dots,2m\}</tex>. Очередь <tex>B</tex> будет работать непосредственно с ключами элементов. * Работая с блоком <tex>C_j</tex>, будем сливать элементы, ключи которых находятся в очереди <tex>B</tex>, с <tex>C_j^s</tex> в список <tex>\mathtt{merged}</tex>. Поскольку мы предположили, что <tex>m\geqslant k</tex>, то количество ключей в <tex>B</tex> не больше <tex>m</tex>, тогда длина <tex>\mathtt{merged}</tex> не больше <tex>2m</tex>, что позволяет однозначно определить ключи на множестве <tex>\{Acronym|Достаем из очереди 1,2,\dots,2m\}</tex>. Как было замечено ранее, элементы, чьи ключинаходятся в <tex>B</tex>, располагаются в возрастающем порядке, поэтому возможно производить тривиальную операцию [[Сортировка слиянием#Принцип работы#Слияние двух массивов |если это первый блок — ничего не делаемслияния]] за <tex>O(m)</tex>. В итоге, получим отсортированный список <tex>\mathtt{merged}</tex>. Сопоставим ключ каждому элементу как его позицию в этом списке, тогда справедливы утверждения, что <tex>\mathtt{elt}(x)=\mathtt{merged} [x]</tex> и конвертируем их в элементы <tex>(\pi_{i}<\pi_{k} \Longleftrightarrow \mathtt{key}(\pi_{i})<\mathtt{key}(\pi_{k}))</tex>, где <tex>\pi_{i},\pi_{k}\in \mathtt{merged}</tex>, поэтому любая возрастающая последовательность ключей элементов будет соответствовать возрастающей последовательности элементов. Таким образом, приоритетная очередь сможет корректно работать с ключами элементов. Находим последовательность ключей, соответствующую элементам блока <tex>C_j^s</tex>. Действуя на эту последовательность перестановкой <tex>\pixi_j</tex>, получаем последовательность ключей в порядке исходного блока.

* Классический [[Сортировка слиянием#Принцип работы#Слияние двух массивов | merge]] только что полученных элементов Оставшиеся ключи, которые входят в <tex>\pimathtt{merged}</tex> с элементами нового блока, но с модификацией: генерируются 2 дополнительных массива - индексы не являются ключами элементов исходных массивов в новомобрабатываемом блоке, будут ключами элементов из очереди <tex>B</tex>. Слияние массивов назовем Обновляем очередь <tex>\mathtt{merged}B</tex>этими ключами.

* На массив индексов, относящиеся к новому блокуЗатем запускаем алгоритм <tex>\mathrm{LIS}</tex>, действует перестановка смещений сортированного варианта этого блока. Таким образом мы добиваемся эквиваленции отношений {{Acronym|для ключей|смещений}} к отношениям элементов в очереди и элементов в блоке, а ключи находятся в диапазоне <tex>O(m)C_j</tex>в порядке исходной последовательности.

В итоге, обработка блока делится на следующие этапы:* Первый массив индексов, который соответствует элементам, ранее находящимся в Достаем из очереди<tex>B</tex> ключи <tex>x</tex>, вновь кладутся конвертируем их в очередь элементы <tex>\mathtt{elt}(обычными x)</tex> и кладём в список <tex>\mathrmmathtt{insertelems}</tex>-ами). Второй массив обрабатывается описанным выше алгоритмом * Сливаем элементы в <tex>\mathtt{elems}</tex> со следующим отсортированным блоком <tex>C_j^s</tex> в список <tex>\mathtt{merged}</tex>, генерируя два вспомогательных массива <tex>\mathtt{ind_0}</tex> и <tex>\mathrmmathtt{LISind_1}</tex>, при том массив хранящих индексы элементов списков <tex>C_j^s</tex> и <tex>\mathtt{elems}</tex> соответственно в списке <tex>\mathtt{predecessormerged}</tex> строится из .* Действуя на последовательность ключей в списке <tex>\mathtt{ind_0}</tex> перестановкой <tex>\xi_j</tex> получим ключи в порядке исходной последовательности.* Вставляем в <tex>B</tex> новые ключи элементов списка <tex>\mathtt{elems}</tex> (элементы <tex>\mathtt{ind_1}</tex>).* Обрабатываем ключи элементов блока в порядке исходной последовательности с помощью алгоритма <tex>\mathrm{LIS}</tex>. Для восстановления НВП также используем массив "предшественников", который будет работать с соответствующими ключам элементами <tex>\mathtt{mergedelt}(x)</tex>.

==== Визуализация Пример====Помеченные <font color=green>зеленым</font> — условные данные. Остальное — условные операции. Например <tex>\mathtt{keys} \longrightarrow \mathtt{merged}</tex> значит взять элементы из массива <tex>\mathtt{merged}</tex> c индексами из <tex>\mathtt{keys}</tex>. <tex>\mathrm{merge} \longrightarrow \mathtt{merged}</tex> — здесь <tex>\mathtt{merged}</tex> обозначает результат операции <tex>\mathrm{merge}</tex>.

Для первого блока содержательной является лишь веткаТак как очередь <tex>B</tex> в начале пуста, начинающаяся с то <tex>C_j^S \longrightarrow \mathrmmathtt{mergemerged} \longrightarrow =C_1^s</tex>. Присвоим ключи элементам в списке <tex>\mathtt{ind's\#1merged}</tex>как их индексы в этом списке. Восстанавливаем последовательность ключей элементов в порядке исходной последовательности, что не противоречит представленной схемедействуя перестановкой смещений <tex>\xi_1</tex> на последовательность ключей в отсортированном блоке.

{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="56"|Первый блокСортированный|-align="center"|style="background:#FFA080"|9<tex>\pi</tex> ||style="background:#FFDF80"|<tex>3</tex>||style="background:#FF9580"<tex>4</tex>|10|<tex>8</tex>|style="background:#FFD580"|4<tex>9</tex>||style="background:#FFAA80"|8<tex>10</tex>|-align="center"|style="background:#FFE680"<tex>key</tex> ||<tex>1</tex>||style="background:#FFCC80"|<tex>2</tex>||style="background:#FFB380"|<tex>3</tex>||style="background:#FF9980"|<tex>4</tex>||style="background:#FF8080"|<tex>5</tex>

{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="56"|CортированныйПервый блок|-align="center"|style="background:#FFDF80"<tex>\pi</tex> ||<tex>9</tex>||<tex>3</tex>||<tex>10</tex>|style="background:#FFD580"|<tex>4</tex>||style="background:#FFAA80"<tex>8</tex>|-| <tex>key</tex> ||<tex>4</tex>||8<tex>1</tex>||style="background:#FFA080"<tex>5</tex>|9|<tex>2</tex>|style="background:#FF9580"|10<tex>3</tex>|-align="center"|style="background:#FFCC80"<tex>\xi_1</tex> |2|<tex>4</tex>|style="background:#FF9980"|4<tex>1</tex>||style="background:#FF8080"|<tex>5</tex>||style="background:#FFE680"|1|<tex>2</tex>|style="background:#FFB380"|<tex>3</tex>

 Обработка блока с помощью алгоритма <tex>\mathttmathrm{mergedLIS}</tex> аналогичен сортированному, т.к. предыдущих ключей нет. {| class="wikitable" style="center"! colspan; style="5background: #ffffcc"|Ключи сортированного блока || colspan="5"| ! <tex>\xiB_1</tex>|-align="center"| 2||4||5||1||3||4||1||5||2||3|}Пропускаем их через <tex>\mathrm{LIS}</tex>:{| class="wikitable" style="center"! <tex>B_1B_2</tex>||<tex>B_2B_3</tex>||<tex>B_3key</tex>||<tex>\pi</tex>

| style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>4 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>4</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>9</tex>

| style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>1 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>1</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>3</tex>

| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>5 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>5</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>10</tex>

| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>2 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>2</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>4</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>3 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>3</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>8</tex>

<tex>\mathtt{merged}: \{3, 4, 8, 9, 10\}</tex>  '''Второй блок'''

{| styleclass="centerwikitable"! colspanstyle="5center"|Второй блок

|stylecolspan="background:#FFF4803"|1||style="background:#FFEA80"|2||style="background:#FF8080"|12||style="background:#FFC080"|6||style="background:#FFCA80"|5<tex>B</tex>

|style="background:#FFE680"|1||style="background:#FFCC80"|2||style="background:#FFB380"|<tex>3</tex>||style="background:#FF9980"|<tex>4</tex>||style="background:#FF8080"|5<tex>8</tex>

{| styleclass="centerwikitable"! colspanstyle="5center"|Cортированный

|stylecolspan="background:#FFF480"|1||style="background:#FFEA80"|2||style="background:#FFCA80"|5||style="background:#FFC080"|6||style="background:#FF8080"|12<tex>C_2^s</tex>

|style="background:#FFE680"|<tex>1</tex>||style="background:#FFCC80"|<tex>2</tex>||style="background:#FF8080"|<tex>5</tex>||style="background:#FF9980"|4|<tex>6</tex>|style="background:#FFB380"|3<tex>12</tex>

| ! colspan="89"|<tex>\mathtt{merged}</tex>

| <tex>\pi</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>||<tex>12</tex>|-align="center"|<tex>key</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>7</tex>||<tex>8</tex>

| colspan="3"|<tex>\mathtt{ind's\#0ind_1}</tex> — индексы текущих

| <tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>7</tex>

| colspan="5"|<tex>\mathtt{ind's\#1ind_0}</tex> — индексы новых

| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>

Получаем ключи элементов в <tex>C_2^s</tex> и находим перестановку ключей в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой <tex>\xi_2</tex>: {|| ||{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="6"|Ключи сортированного блокаСортированный|-| <tex>\pi</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>12</tex>|-| <tex>key</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>|}| ||{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="center6"|Второй блок| Ключи сортированного блока-|<tex>\pi</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>12</tex>||<tex>6</tex>||<tex>5</tex>|-| <tex>key</tex> ||4<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>8</tex>||<tex>6</tex>||3<tex>5</tex>|-align="center"| <tex>\xixi_2</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>4</tex>||<tex>3</tex>

Обновление старых ключейОбновляем ключи в очереди:{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>\pikey</tex>

| style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>3 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>3</tex>

| <tex>3 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>4 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>4</tex>

| <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>7 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>7</tex>

 запускаем <tex>\mathrm{LIS}</tex> новыхдля блока:{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>

| style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>1 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>7 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>1</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>1</tex>

| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>2 </tex> || <tex>7 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>2</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>2</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>7 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>8 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>8</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>12</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>6 </tex> || <tex>8 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>6</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>6</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>5 </tex> || <tex>8 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>5</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>5</tex>

===== '''Третий блок =====''' Восстанавливаем элементы <tex>B: \{1, 2, 5, 8\}</tex> из <tex>\mathtt{merged}: \{1,2,3,4,5,6,8,12\}</tex>: <tex>\{1, 2, 5, 12\}</tex>. Сливаем <tex>C_3^s</tex> и восстановленные элементы из <tex>B</tex> и присваиваем ключи элементам:

{| styleclass="centerwikitable"! colspanstyle="5center"|Первый блок

|stylecolspan="background:#FFB5804"|7||style="background:#FF8B80"|11<tex>B</tex>

|style="background:#FFC080"<tex>1</tex>||<tex>2</tex>|1|<tex>5</tex>|style="background:#FF8080"|2<tex>12</tex>

{| styleclass="centerwikitable"! colspanstyle="5center"|Cортированный

|stylecolspan="background:#FFB5802"|7||style="background:#FF8B80"|11<tex>C_3^s</tex>

|style="background:#FFC080"<tex>7</tex>|1||style="background:#FF8080"|2<tex>11</tex>

| ! colspan="87"|<tex>\mathtt{merged}</tex>

| <tex>\pi</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>7</tex>||<tex>11</tex>||<tex>12</tex>|-align="center"|<tex>key</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>

| colspan="4"|<tex>\mathtt{ind's\#0ind_1}</tex> — индексы текущих

| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>6</tex>

| colspan="2"|<tex>\mathtt{ind's\#1ind_0}</tex> — индексы новых

| <tex>4</tex>||<tex>5</tex>

 Получаем ключи элементов в <tex>C_3^s</tex> и находим перестановку ключей в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой <tex>\xi_3</tex>: {|| ||{|| ||{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="53"|Ключи сортированного блокаТретий блок|-| <tex>\pi</tex> ||<tex>7</tex>||<tex>11</tex>|-align="center"| 1<tex>key</tex> ||<tex>4</tex>||2<tex>5</tex>

| ||{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="53"|Cортированный|-| <tex>\xipi</tex> ||<tex>7</tex>||<tex>11</tex>|-| <tex>key</tex> ||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>|-align="center"| <tex>\xi_3</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>

{| class="wikitable" style="center"style="background: #ffffcc"! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>key</tex>

| style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>1 </tex> || 4 || 7 || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>1</tex>

| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>2 </tex> || 7 || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>2</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>3 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>3</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>3 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>6 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>6</tex>

 запускаем <tex>\mathrm{LIS}</tex> новыхдля блока:{| class="wikitable" style="center"style="background: #ffffcc"! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>B_5</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>3 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>4 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>4</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>7</tex>

| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>5 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>5</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>11</tex>

''' Результат работы '''завершения алгоритма:

Получаем, что длина НВП — <tex>5</tex>, и НВП оканчивается на <tex>\mathtt{merged}[5]===== 11</tex>. '''Восстановление НВП ====='''

| style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#DCDCFF"|<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||<tex>8</tex>||<tex>9</tex>||<tex>10</tex>||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>||<tex>12</tex>

|style="background:#FFFFC8"| ||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>|| ||<tex>3</tex>||style="background:#DCDCFF"|<tex>2</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||<tex>4</tex>|| ||<tex>3</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||<tex>8 </tex>

|+ -align="center"| обратный порядок| |style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>|}{| class-align="wikitablecenter" | НВП||style="centerbackground:#DCFFFF"|+ НВП| <tex>1</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>