Определение матроида

Аксиоматическое определение

Определение:

Матроид (англ. matroid) — пара [math]\langle X,I \rangle[/math], где [math]X[/math] — конечное множество, называемое носителем матроида (англ. ground set), а [math]I[/math] — некоторое множество подмножеств [math]X[/math], называемое семейством независимых множеств (англ. independent sets), то есть [math]I \subset 2^X [/math]. При этом должны выполняться следующие условия: [math]\varnothing \in I[/math] если [math]A \in I [/math] и [math] B \subset A[/math], то [math]B \in I[/math] если [math]A,B \in I[/math] и [math]|A| \gt |B|[/math], то [math] \exists \, x \in A \setminus B \mid B \cup \{x\} \in I[/math]

Определение:

База матроида (англ. base) — максимальное по включению независимое множество.

Определение:

Рангом матроида называется мощность его баз. Ранг тривиального матроида равен нулю.

Определение:

Зависимое множество (англ. dependent set) — подмножество носителя матроида, не являющееся независимым.

Определение:

Цикл матроида (англ. circuit) — минимальное по включению зависимое множество.

Определение:

Матроиды [math]M_1 = \langle X_1,I_1 \rangle[/math] и [math]M_2 = \langle X_2,I_2 \rangle[/math] называются изоморфными (англ. isomorphic matroids), если существует биекция (взаммно-однозначное отображение) [math]\varphi\colon \ X_1 \rightarrow X_2[/math], сохраняющая независимость, то есть множество [math]A \subset I_1[/math] является независимым в матроиде [math]M_1[/math] тогда и только тогда, когда образ этого множества при заданном отображении [math]\varphi(A)[/math] есть независимое множество в матроиде [math]M_2[/math].

См. также

• Примеры матроидов
• Аксиоматизация матроида базами
• Аксиоматизация матроида циклами

Источники информации

• Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2
• Wikipedia — Matroid
• Википедия — Матроид