Нормированные пространства (3 курс) — различия между версиями

Текущая версия на 19:10, 4 сентября 2022

Определение:

Линейное (векторное) пространство над полем [math]K[/math] — это множество с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:

По операции сложения [math]L[/math] является абелевой группой — выполняются:
- ассоциативность — ;
- существование нейтрального элемента — , причем можно показать, что он единственный;
- существование обратного элемента — , такой [math]y[/math] называют обратным к [math]x[/math], причем можно показать, что он единственный;
- коммутативность — ;
Для операции умножения на скаляр:
- ассоциативность умножения на скаляр — ;
- унитарность: , где [math]1[/math] — единица по умножению в поле [math]K[/math];
- дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — ;
- дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — .

Определение:

Функция называется нормой в пространстве , если для нее выполняется:

,

Пространство с введенной на нем нормой называют нормированным пространством.

Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как [math]\rho(x, y) = \| x - y \|[/math]. Заметим, что обратное неверно: например, хоть [math]\mathbb{R}^{\infty}[/math] c и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.

Утверждение:

В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.

Пусть .

Тогда [math] x_n + y_n \to x + y [/math], так как .

, так как .

Примеры НП:

[math]X = C[a; b][/math] — пространство непрерывных на [math][a; b][/math] функций,
[math]X = L_p[/math] — пространство функций, интегрируемых на множестве [math] E [/math] с [math] p [/math] степенью ,. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
[math]X = \ell_p[/math] — пространство числовых последовательностей, суммируемых с [math]p[/math]-й степенью, норму можно ввести как

Определение:

Нормированное пространство называется B-пространством (Банаховым), если для любой последовательности элементов , для которых из при вытекает существование предела последовательности.

Определение:

Нормы , эквивалентны, если сходимость в них равносильна: .

Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность).

Утверждение:

Нормы , эквивалентны существуют константы такие, что .

Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость:

;

.

Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет:

Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы [math] M [/math]. Значит, существует последовательность .

Рассмотрим тогда последовательность [math] \frac {x_n}{\|x_n\|_1} [/math].

В норме [math] \|\cdot\|_2 [/math] она будет сходиться к нулю: .

Но в каждый элемент имеет норму , то есть, последовательность к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.

Определение:

Пространство конечномерно, если .

Теорема (Рисс):

В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.

Доказательство:

Докажем, что произвольная норма [math]\| \|[/math] в конечномерном пространстве [math]X[/math] эквивалентна [math]\| \|_2[/math], то есть выберем , далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.

Выберем и зафиксируем в пространстве [math]X[/math] произвольный базис [math](e_1 \dots e_n)[/math].

1. , (по неравенству Коши для сумм) . Заметим, что является нормой [math]\| \|_2[/math] в координатной записи, а является константным значением для фиксированного базиса.

Таким образом, получили .

2. Теперь надо доказать, что

Рассмотрим единичный шар по норме [math]\| \|_2[/math]: , [math]S_2[/math] является компактом в [math]\mathbb{R}^n[/math], воспользуемся теоремой Хаусдорфа и покажем:

замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1.
вполне ограниченность: пусть нам дали какой-то [math]\varepsilon[/math], заметим что норма [math]\|\|_2[/math] — самое обычная длина вектора, возьмем и сделаем в параллелепипеде [math][0; 1]^n[/math] n-мерную сетку с шагом , которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в параллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром

Рассмотрим на нем функцию [math]f : S_2 \to \mathbb{R}[/math], . Покажем, что она непрерывна.

Покажем, что . Раскроем двумя способами модуль.

[math]\implies [/math]
[math]\implies [/math] [math] = \|\Delta\alpha\|[/math]

По свойствам нормы,

, то есть при стремлении [math]\Delta \alpha_k [/math] к [math]0[/math], расстояние между [math]f(\overline \alpha)[/math] и также стремится к нулю, что означает непрерывность.

Так как [math]f[/math] непрерывна на [math]S_2[/math], то по теореме Вейерштрасса она принимает минимум на этом компакте, равный [math]m[/math] (пусть он достигается в точке [math]\overline \alpha^*[/math]). Также [math]f[/math] не может быть нулем на [math]S_2[/math]: пусть для какого-то [math]x \in S_2[/math] это так, тогда , что означает, что [math]x \notin S_2[/math], то есть [math]m \gt 0[/math].

Теперь рассмотрим произвольный ненулевой [math]x \in \mathbb{R}^n[/math], тогда точка [math]x' = {x \over \|x\|_2}[/math] также принадлежит [math]\mathbb{R}^n[/math] по линейности пространства, и в частности, принадлежит [math]S_2[/math]. Рассмотрим [math]x'[/math]: , то есть [math]m \| x \|_2 \le \|x\|[/math].

Таким образом, получили обе части двойного неравенства.

Определение:

Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно подпространством называется именно замкнутое подпространство, а алгебраические подпространства называют линейными подмножествами.

Теорема:

Пусть — НП и — линейное конечномерное подмножество в , тогда — замкнуто в , т.е. .

Доказательство:

Пусть для произвольного [math]y \in X[/math], --- исходная норма.

Пусть .

; так как [math] y_m [/math] сходится, то [math] y_m [/math] сходится в себе по [math] \|\cdot\|_2 [/math].

Вследствие покоординатной сходимости, .

По полноте вещественной оси, все [math]n[/math] последовательностей сходятся: .

Возьмем . По единственности предела, [math] y^* = y [/math].

Значит, , и .

Пример: [math] X = C[0; 1][/math], [math]Y[/math] — пространство всех полиномов степени не выше [math] n [/math]. Очевидно, [math] Y [/math] конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из [math] Y [/math], то ее пределом будет также полином из [math] Y [/math]. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в [math]Y[/math] не ограничивать, то замыканием [math]Y[/math] будет все пространство [math]X[/math], по теореме Вейерштрасса, любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.

Ссылки

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-{{В разработке}}
-<wikitex>
 {{Определение
 |id=defvs
 |definition=
-'''Линейное (векторное) пространство над полем $K$''' — это множество $L$ с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
+'''Линейное (векторное) пространство над полем <tex>K</tex>''' — это множество <tex>L</tex> с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
-* По операции сложения $L$ является абелевой группой — выполняются:
+* По операции сложения <tex>L</tex> является абелевой группой — выполняются:
-** ассоциативность — $\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$
+** ассоциативность — <tex>\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)</tex>;
-** существование нейтрального элемента — $\exists \mathrm{0} \in L \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$, причем можно показать, что он единственный
+** существование нейтрального элемента — <tex>\exists \mathrm{0} \in L\ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x</tex>, причем можно показать, что он единственный;
-** существование обратного элемента — $\forall x \in L \exists y: x + y = \mathrm{0}$, такой $y$ называют обратным к $x$, причем можно показать, что он единственный
+** существование обратного элемента — <tex>\forall x \in L\ \exists y: x + y = \mathrm{0}</tex>, такой <tex>y</tex> называют обратным к <tex>x</tex>, причем можно показать, что он единственный;
-** коммутативность — $\forall x, y \in L: x + y = y + x$
+** коммутативность — <tex>\forall x, y \in L: x + y = y + x</tex>;
 * Для операции умножения на скаляр:
-** ассоциативность умножения на скаляр — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$
+** ассоциативность умножения на скаляр — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)</tex>;
-** унитарность: $\forall x \in L: 1 \cdot x = x$, где $1$ — единица по умножению в поле $K$
+** унитарность: <tex>\forall x \in L: 1 \cdot x = x</tex>, где <tex>1</tex> — единица по умножению в поле <tex>K</tex>;
-** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $\forall \alpha \in K \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$
+** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — <tex>\forall \alpha \in K\ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y</tex>;
-** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$
+** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x</tex>.
 }}
@@ Строка 22: / Строка 18: @@
 |id=defnorm
 |definition=
-Функция $\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}$ называется нормой в пространстве $L$, если для нее выполняется:
+Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
-# $\forall x \in L: \| x \| \ge 0$, $\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}$
+# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \iff x = \mathrm{0}</tex>
-# $\forall \alpha \in \mathbb{R} \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|$
+# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
-# $\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|$
+# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
 Пространство с введенной на нем нормой называют '''нормированным пространством'''.
 }}
-Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной сткуртурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.
+Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как <tex>\rho(x, y) = \| x - y \|</tex>. Заметим, что обратное неверно: например, хоть <tex>\mathbb{R}^{\infty}</tex> c <tex>\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}</tex> и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.
+{{Утверждение
+|statement=
+В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.
+|proof=
+Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>.
+Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \to 0</tex>.
-Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это
+<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, так как <tex> \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.
+}}
 Примеры НП:
-* $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x  \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
+* <tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x  \| = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}</tex>
-* $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
+* <tex>X = C[a; b]</tex> — пространство непрерывных на <tex>[a; b]</tex> функций, <tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|</tex>
-* $X = L_p$ — пространство TODO пшшш,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$, заметим, что здесь надо отождествить почти везде совпадающие функции, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
+* <tex>X = L_p</tex> — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
+* <tex>X = \ell_p</tex> — пространство числовых последовательностей, суммируемых с <tex>p</tex>-й степенью, норму можно ввести как <tex>\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^{1 \over p}</tex>
 {{Определение
 |definition=
-Нормированное пространство $(X, \|\cdot\|)$ называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $X$, для которых из $\|x_n - x_m\| \to 0$ при $n, m \to \infty$ вытекает существование предела последовательности.
+Нормированное пространство <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов <tex>X</tex>, для которых из <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <tex>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.
 }}
 {{Определение
 |definition=
-Нормы $\| \|_1$, $\| \|_2$ '''эквивалентны''', если существуют константы $m, M > 0$ такие, что $\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2$. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).
+Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> '''эквивалентны''', если сходимость в них равносильна: <tex>\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.
 }}
+Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность).
+{{Утверждение
+|statement=
+Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \iff </tex> существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>.
+|proof=
+Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость:
+<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \frac \varepsilon m \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>;
+<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < M \varepsilon \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x</tex>.
+Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет:
+Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы <tex> M </tex>. Значит, существует последовательность <tex> x_n: \|x_n\|_1 > n \|x_n\|_2 </tex>.
+Рассмотрим тогда последовательность <tex> \frac {x_n}{\|x_n\|_1} </tex>.
-Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. TODO: в одну сторону равносильность определений вроде очевидна, а в другую не очень.
+В норме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 < \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\|_2 = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>.
+Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть, последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.
+}}
+{{Определение
+|definition=
+Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', если <tex> \exists n = dim X < \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>.
+}}
 {{Теорема
 |author=Рисс
+|id=riesz
 |statement=
 В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
 |proof=
-Докажем, что произвольная норма $\| \|$ в конечномерном пространстве $X$ эквивалентна $\| \|_2$, то есть выберем $m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2$, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.
+Докажем, что произвольная норма <tex>\| \|</tex> в конечномерном пространстве <tex>X</tex> эквивалентна <tex>\| \|_2</tex>, то есть выберем <tex>m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2</tex>, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.
+Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>.
+. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса.
+Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>.
+. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex>
-TODO: сначала надо что-то сказать про изоморфность конечномерных пространств, чтоли? Выберем и зафиксируем в пространстве $X$ произвольный базис $(e_1 \dots e_n)$.
+Рассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, воспользуемся [[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях | теоремой Хаусдорфа]] и покажем:
+* замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1.
+* вполне ограниченность: пусть нам дали какой-то <tex>\varepsilon</tex>, заметим что норма <tex>\|\|_2</tex> — самое обычная длина вектора, возьмем и сделаем в параллелепипеде <tex>[0; 1]^n</tex> n-мерную сетку с шагом <tex>\frac{\varepsilon}{\sqrt n}</tex>, которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в параллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром
-. $x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k$, $\| x \| = \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le $ (по [[неравенству Коши для сумм]]) $ \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}$. Заметим, что $\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}$ является нормой $\| \|_2$ в координатной записи, а $\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}$ является константным значением для фиксированного базиса.
+Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|</tex>. Покажем, что она непрерывна.
-Таким образом, получили $\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2$.
+Покажем, что <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \|</tex>. Раскроем двумя способами модуль.
+* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\le\|\alpha\| + \|\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|</tex>
+* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|<0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex> = \|\Delta\alpha\|</tex>
-. Теперь надо доказать, что $\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|$
+По свойствам нормы, <tex>\|\Delta\alpha\| = \|\sum \Delta\alpha_k e_k\| \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|e_k\|</tex>
-Рассмотрим единичный шар по норме $\| \|_2$: $S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}$, $S_2$ является компактом в $\mathbb{R}^n$ (TODO: почему? может, [http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/functional_analysis/pdf/chap3.pdf тут] есть подсказка).
+<tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M  \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}</tex>, то есть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.
-Рассмотрим на нем функцию $f : S_2 \to \mathbb{R}$, $f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|$. Покажем, что она непрерывна: $|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M  \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}$, то есть при стремлении $\Delta \alpha_k $ к $0$, расстояние между $f(\overline \alpha)$ и $f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)$ также стремится к нулю, что означает непрерывность.
-Так как $f$ непрерывна на $S_2$, то по [[теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный $m$ (пусть он достигается в точке $\overline \alpha^*$). Также $f$ не может быть нулем на $S_2$: пусть для какого-то $x \in S_2$ это так, тогда тогда $\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0$, что означает, что $x \notin S_2$, то есть $m > 0$.
+Так как <tex>f</tex> непрерывна на <tex>S_2</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный <tex>m</tex> (пусть он достигается в точке <tex>\overline \alpha^*</tex>). Также <tex>f</tex> не может быть нулем на <tex>S_2</tex>: пусть для какого-то <tex>x \in S_2</tex> это так, тогда <tex>\|x\| = 0 \implies \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \implies \alpha_k e_k = 0 \implies \forall k: \alpha_k = 0 \implies \|x\|_2 = 0</tex>, что означает, что <tex>x \notin S_2</tex>, то есть <tex>m > 0</tex>.
-Теперь рассмотрим произвольный ненулевой $x \in \mathbb{R}^n$, тогда точка $x' = {x \over \|x\|_2}$ также принадлежит $\mathbb{R}^n$ по линейности пространства, и в частности, принадлежит $S_2$. Рассмотрим $x'$: $ f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m$, то есть $m \| x \|_2 \le \|x\|$.
+Теперь рассмотрим произвольный ненулевой <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, тогда точка <tex>x' = {x \over \|x\|_2}</tex> также принадлежит <tex>\mathbb{R}^n</tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит <tex>S_2</tex>. Рассмотрим <tex>x'</tex>: <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m</tex>, то есть <tex>m \| x \|_2 \le \|x\|</tex>.
-Таким образом, получили обе части тройного неравенства.
+Таким образом, получили обе части двойного неравенства.
 }}
-Следствие: Пусть $X$ — НП и $Y$ — линейное конечномерное подпространство в $X$, тогда $Y$ — замкнуто в $X$, т.е. $Y$ — TODO: пшшш
+{{Определение
+|definition=Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно '''подпространством''' называется именно ''замкнутое'' подпространство, а ''алгебраические'' подпространства называют '''линейными подмножествами'''.
-Пример: $ X = C[0; 1]$, $Y$ — пространство всех полиномов TODO: полиновов какой степени?
+}}
 {{Теорема
-|author=Вейерштрасс
-|about=аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса)
 |statement=
-TODO: в конспекте мутно, но, видимо, для любой функции $f$ в $C[0; 1]$ можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящуюся к $f$ на $[0; 1]$
+Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подмножество в <tex>X</tex>, тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>, т.е.
+<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.
 |proof=
-TODO: какая-то хурма в конспекте(((
+Пусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма.
-}}
-Ссылочки:
+Пусть <tex>\|\cdot\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>.
+По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость.
+<tex>\|y_m - y\| \to 0 \implies \|y_m - y\|_2 \to 0</tex>; так как <tex> y_m </tex> сходится, то <tex> y_m </tex> сходится в себе по <tex> \|\cdot\|_2 </tex>.
+Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>.
+По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*</tex>.
+Возьмем <tex> y^* = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k </tex>. По единственности предела, <tex> y^* = y </tex>.
+Значит, <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k</tex>, <tex>y \in Y</tex> и <tex>Y = \mathrm{Cl} Y</tex>.}}
+Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке | теореме Вейерштрасса]], любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.
+== Ссылки ==
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space]
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics) Norm]
-</wikitex>
+[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Нормированные пространства (3 курс) — различия между версиями

Текущая версия на 19:10, 4 сентября 2022

Ссылки

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты