Изменения

== Диаметр дерева =={{Определение|id = tree|definition ='''Алгоритм:Диаметр дерева''' (англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.}} Пусть дан граф <tex>G = \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшее расстояние между вершинами. === Алгоритм ===* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин.<tex>d[i] = dist(v, i)</tex> * Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]]. === Реализация === <span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span> '''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g): v = u = w = 0 d = bfs(g, v) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[i] > d[u] u = i d = bfs(g, u) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[i] > d[w] w = i '''return''' d[w] === Обоснование корректности ===Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае. {{Теорема|statement=Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.|proof=Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a, b</tex>, где <tex>b</tex> не является листом. Так как <tex>b</tex> не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем).}} После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>. {{Теорема|statement=В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.|proof=Предположим, существует ребро <tex>u, v</tex> между соседними поддеревьями:Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина <tex>u</tex>, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин <tex>u</tex> мы добавим в список вершину <tex>v</tex>, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.}}

Возьмём вершину Мы свели задачу к нахождению вершины <tex> u w</tex> такую,такой что d[u] >= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFSсумма глубин поддеревьев максимальна.

void diameter(graph g) === Алгоритм === { v = u = w = 0;= Наивный алгоритм ==== bfsНайдём центр графа исходя из его определения.* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (v<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>); , где <tex>a_{ij} = d_{ij}<// заполняет массив dtex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[nАлгоритм_Дейкстры|Дейкстры]] расстояниями до всех вершин. for(i = 0; i * Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины < tex>n; i++) if (d[i] </tex> d[u]). u = i;* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами. bfsАсимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(uV^3); for</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(i = 0; i V^2)< n; i++) if (d[i] /tex> d[w]) w = i; return d[w]; } , за которую мы находим максимумы в матрице.

'''Обоснование корректности:'''Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1)'''Докажем вспомогательную лемму:'''{{Теорема|statement=Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листамиКаждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин. |proof='''Доказательство:''' пусть нетУтверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина aчто у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, bчто и у дерева <tex>T'</tex>, где b - не является листомполученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин.Т.кРасстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. b не является листомТаким образом, то значит её степень эксцентриситет каждой вершины дерева <tex> 1 =T'</tex> из неё существует ребро точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем)дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Лемма доказанаПродолжим процесс удаления и получим требуемое.

Запустив BFS от произвольной * Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершинычислом <tex>0</tex>. Мы получим дерево BFS* Обрежем помеченные вершины. Теорема* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем. В * Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве BFS будет тоже не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предка.Доказательство как про дерево DFSболее двух листьев.

Мы свели задачу к нахождению вершины v, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальнаОставшиеся листья являются центром дерева.

ДокажемДля того, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий листчтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя. == См. также ==Пусть нет*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, тогда взяв расстояние от v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ. эквивалентные определения]]*[[Дополнительный,_самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]]

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist== Источники информации ==* [[wikipedia:Distance_(t, pgraph_theory) |Wikipedia {{- max --}} Distance (graph theory)]]* ''Ф. Очевидно, что проблема решается запуском bfs из tХарари'': Теория графов* [http://rain. ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)]

'''Оценка производительности[[Категория:'''Дискретная математика и алгоритмы]]Все операции кроме bfs - О(1)BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)[[Категория: Основные определения теории графов]]