1632
правки
Изменения
м
'''Диаметр дерева''' - максимальная длина кратчайшего пути между любыми двумя вершинами.Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,причём очень простым алгоритмом.__TOC__
d = max{Пусть дан граф <tex> v G = \langle V, E \rangle </tex>,. Тогда диаметром <tex> u d</tex> называется <tex> \subset graphmax\limits_{u, </tex> <tex> v \ne in V} dist(v, u )</tex>} dist(, где <tex> v, u dist</tex>)— кратчайшее расстояние между вершинами.
'''Реализация:'''* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].
void diameter(graph g) { v = u = w = 0; bfs(v); // заполняет массив d[n] расстояниями до всех вершин. for(i Обоснование корректности = 0; i < n; i++) if (d[i] > d[u]) u = i; bfs(u); for(i = 0; i < n; i++) if (d[i] > d[w]) w = i; return d[w]; }Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.
После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>.
'''Обоснование корректности:'''
{{Будем пользоваться свойствомМы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>,такой что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степень у них = 1)сумма глубин поддеревьев максимальна.
{{Лемма|statement=Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.|proof=пусть нетТаким образом мы доказали, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина aчто нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, bочевидно, где b - не является листом.Т.к. b не является листомчто ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, то значит её степень такую что <tex> 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину dist(дважды посетить вершину b мы не можемu, w)</tex> максимально. Лемма доказанаВершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.}}
Запустив BFS от произвольной вершины=== Алгоритм ======= Наивный алгоритм ====Найдём центр графа исходя из его определения.* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Мы Таким образом, получим дерево BFSмассив длины <tex>n</tex>. Теорема* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предкатом случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.Доказательство как про дерево DFSАсимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице.
Мы свели задачу к нахождению вершины v, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.==== Алгоритм для дерева за O(n) ====
Докажем{{Теорема|statement=Каждое дерево имеет центр, что одно состоящий из одной вершины или из искомых поддеревьев содержит самый глубокий листдвух смежных вершин. Пусть нет|proof=Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, тогда взяв расстояние что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.}} Собственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы. * Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.* Обрежем помеченные вершины.* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем.* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев. Оставшиеся листья являются центром дерева.
Таким образом мы доказалиДля того, чтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfsобрабатывать листья по одному, очевидно что ей поддерживая в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t[[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.
Все операции кроме bfs - О(1)[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)[[Категория: Основные определения теории графов]]
rollbackEdits.php mass rollback
== Диаметр дерева =={{Определение|id = tree|definition ='''Алгоритм:Диаметр дерева'''(англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин.}}
=== Алгоритм ===* Возьмём любую вершину <tex> u v \in V </tex> такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова и найдём расстояние расстояния до всех остальных других вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.<tex>d[i] = dist(v, i)</tex>
=== Реализация ===
<span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span>
'''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g):
v = u = w = 0
d = bfs(g, v)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[u]
u = i
d = bfs(g, u)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[w]
w = i
'''return''' d[w]
{{Теорема
|statement=
Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.
|proof=
Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a, b</tex>, где <tex>b</tex> не является листом. Так как <tex>b</tex> не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем).
}}
{{Теорема
|statement=
В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
|proof=
Предположим, существует ребро <tex>u, v</tex> между соседними поддеревьями:
Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина <tex>u</tex>, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин <tex>u</tex> мы добавим в список вершину <tex>v</tex>, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.
}}
Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист.
Пусть нет, тогда, взяв расстояние от <tex>w</tex> до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.
=== Оценка времени работы ===
Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.
<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
== Центр дерева ==
=== Определения ===
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of a vertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ. ''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центральная вершина''' (англ. ''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центр графа <tex>G</tex>''' (англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
}}
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
[[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]]
== См. также ==
*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, эквивалентные определения]]
*[[Дополнительный,_самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]]
== Источники информации ==* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]* ''Ф. Харари''Оценка производительности:Теория графов* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)]
