1632
правки
Изменения
м
'''Диаметр дерева''' - максимальная длина кратчайшего пути между любыми двумя вершинами.Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,причём очень простым алгоритмом.__TOC__
d = max{Пусть дан граф <tex> v G = \langle V, E \rangle </tex>,. Тогда диаметром <tex> u d</tex> называется <tex> \subset graphmax\limits_{u, </tex> <tex> v \ne in V} dist(v, u )</tex>} dist(, где <tex> v, u dist</tex>)— кратчайшее расстояние между вершинами.
'''Реализация:'''* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].
void diameter(graph g) { v = u = w = 0; bfs(v); // заполняет массив d[n] расстояниями до всех вершин. for(i Обоснование корректности = 0; i < n; i++) if (d[i] > d[u]) u = i; bfs(u); for(i = 0; i < n; i++) if (d[i] > d[w]) w = i; return d[w]; }Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.
После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>.
== Обоснование корректности ==
{{
Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степень у них = 1)
Запустив BFS от произвольной {{Теорема|statement=Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершиныили из двух смежных вершин. Мы получим дерево BFS|proof=Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. ТеоремаРасстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. В Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предка<tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.Доказательство как про дерево DFS.}}
Мы свели задачу к нахождению вершины vСобственно, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальнаалгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы.
Докажем* Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>. Пусть нет* Обрежем помеченные вершины.* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем.* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, тогда взяв расстояние от v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответи при этом в дереве будет тоже не более двух листьев. Оставшиеся листья являются центром дерева.
Таким образом мы доказалиДля того, чтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfsобрабатывать листья по одному, очевидно что ей поддерживая в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t[[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.
Все операции кроме bfs - О(1)[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)[[Категория: Основные определения теории графов]]
rollbackEdits.php mass rollback
== Диаметр дерева =={{Определение|id = tree|definition ='''Алгоритм:Диаметр дерева'''(англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин.}}
=== Алгоритм ===* Возьмём любую вершину <tex> u v \in V </tex> такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова и найдём расстояние расстояния до всех остальных других вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.<tex>d[i] = dist(v, i)</tex>
=== Реализация ===
<span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span>
'''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g):
v = u = w = 0
d = bfs(g, v)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[u]
u = i
d = bfs(g, u)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[w]
w = i
'''return''' d[w]
{{Теорема
|statement=
Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.
|proof=
Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a, b</tex>, где <tex>b</tex> не является листом. Так как <tex>b</tex> не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем).
}}
{{Теорема
|statement=
В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
|proof=
Предположим, существует ребро <tex>u, v</tex> между соседними поддеревьями:
Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина <tex>u</tex>, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин <tex>u</tex> мы добавим в список вершину <tex>v</tex>, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.
}}
Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>, такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.
Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда, взяв расстояние от <tex>w</tex> до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ. Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>. === Оценка времени работы ===Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>. == Центр дерева ===== Определения ==={{ЛеммаОпределение|statementid =Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.tree|proofdefinition =пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина '''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of avertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v, bu)</tex>, где b - не является листом<tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.Т}}{{Определение|id = tree|definition ='''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ.к''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.}}{{Определение|id = tree|definition ='''Центральная вершина''' (англ. b не является листом''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, то значит её степень такая что <tex> 1 e(v) = r(G)</tex> }}{{Определение|id = tree|definition ='''Центр графа <tex> из неё существует ребро в непосещенную вершину G</tex>''' (дважды посетить вершину b мы не можемангл. ''center of a graph''). Лемма доказана— множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.}} [[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]][[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]]
=== Алгоритм ===
==== Наивный алгоритм ====
Найдём центр графа исходя из его определения.
* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].
* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>n</tex>.
* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.
Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице.
==== Алгоритм для дерева за O(n) ====
== См. также ==
*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, эквивалентные определения]]
*[[Дополнительный,_самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]]
== Источники информации ==* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]* ''Ф. Харари''Оценка производительности:Теория графов* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)]
