Изменения

Все {{Определение|definition=Пусть [[Основные_определения_теории_графов#.D0.9D.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D1.8B|неориентированный граф]] <tex> G </tex>имеет <tex> n </tex> вершин: <tex> v_1, v_2, \ d_i ldots, v_n </tex> расположены в порядке неубывания. <br>Пусть <tex>d_i = \deg v_i \ mbox{ } (*i = \overline{1, n}): </tex> и вершины графа упорядочены таким образом, что <tex>d_1 \leqslant d_2 \forall kleqslant \ldots \leqslant d_n </tex> верна импликация . Последовательность <tex>(d_k d_1, d_2, \le k ldots, d_n < n/2 \Rightarrow d_{n-k} \ge n-k)tex> называют '''последовательностью степеней''' графа </tex> G <br/tex>.}} 

Если Пусть неориентированный граф <tex>\ d_k \le k G' </tex>, то число вершин, степень которых не превосходит получен из неориентированного графа <tex>\ k G </tex>, больше или равно добавлением одного нового ребра <tex>\ k e </tex>. Верно и обратное утверждениеТогда последовательность степеней графа <tex> G </tex> мажорируется последовательностью степеней графа <tex> G' </tex>.

Т.к. ''Замечание'': Если в неубывающей последовательности <tex>\ d_1 \le , d_2 , \le ... \le d_k ldots, d_n </tex>, то уже есть увеличить на единицу число <tex>\ k d_i </tex> вершин, степень которых не превосходит а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число <tex>\ k d_i + 1 </tex>. Если степени некоторых вершин, следующих за на положенное место <tex>\ k j </tex> равны , то исходная последовательность будет мажорироваться полученной. Если <tex>\ d_k j = i</tex>, то число вершинутверждение леммы, удовлетворяющих требованиюочевидно, превышает выполняется. Пусть <tex>j \ k neq i</tex>. [[Файл: Hvatal_1.png|270px|thumb|center|Исходная последовательность степеней <brtex>d </tex>]]Доказательство в обратную сторону: * Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{1, i - 1} <br/tex>. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.Пусть у нас есть * Рассмотрим элементы с номерами <tex>s = \ n overline{i, j - 1} </tex>. <tex> s </tex>-й элемент полученной последовательности равен <tex> s + 1 </tex> вершин-му элементу исходной. Из них <tex>d_s \ k leqslant d_{s + p (p 1} \Rightarrow d_s \ge 0) leqslant d'_s = d_{s + 1} </tex>.* Расмотрим <tex>j</tex> вершин имеют степень не больше -ый элемент. Имеем <tex>d'_j \ k ge d'_{j-1} = d_{j} </tex>.Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней. * Рассмотрим элементы с номерами <tex>s = \ d_1 \le koverline{j + 1, d_2 \le kn} </tex>. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.[[Файл: Hvatal_2.. png|290px|thumb|center|Новая последовательность степеней <tex> d' </tex>]]При добавлении в граф ребра <tex> e = uv, d_k \le k, ..., d_mbox{k+p} (u \le k neq v) </tex>. Значит , степени вершин <tex> u </tex> и <tex>\ d_k \le k v </tex>увеличатся на единицу. Для доказательства леммы, дважды воспользуемся замечанием.Значит, последовательность степеней полученного графа мажорирует последовательность степеней исходного.

Если <tex>d_k \leqslant k \Leftrightarrow |\ d_{n-k} v \in VG \mid d_v \ge n-leqslant k </tex>, то число вершин, степень которых не меньше <tex>\ n-k </tex>, больше или равно <tex>}| \ geqslant k+1 . </tex>.Верно и обратное утверждение.

Т.к. <tex>\ d_{n-k} Rightarrow </tex> Пусть:* <tex> d_1 \leqslant d_2 \le d_{n-k+1} leqslant \le .... ldots \le d_n leqslant d_k </tex> и ,* <tex>d_k \ d_{n-k} \ge n-leqslant k </tex>, то мы уже получаем * <tex>|\ d_{n-k}d_1, d_{n-k+1}d_2, ....\ldots, d_n d_k \}| = k + 1 </tex> вершину, удовлетворяющую нашему требованию. Если степени некоторых вершин, предшествующих <tex>\ n-{ d_1, d_2, \ldots, d_k \} \subseteq \{ v \in VG \mid d_v \leqslant k </tex> равны <tex>\ d_} \Rightarrow |\{n-v \in VG \mid d_v \leqslant k\} </tex>, то число вершин, подходящих нашему требованию, превышает <tex>| \ geqslant k+1 </tex> <br>.Доказательство в обратную сторону: <br>Пусть у нас есть <tex>\ n Leftarrow </tex> вершин. Из них условия:* <tex>|\{ v \in VG \mid d_v \leqslant k \ }| = k+p (p > 0)</tex> вершин имеют степень не меньше ,* <tex>p \ n-k geqslant 0 </tex>. Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней. Получим : <br><tex>d_1 \ d_n leqslant d_2 \ge n-k, d_{n-1} leqslant \ldots \leqslant d_k \leqslant \ge n-k, ..., d_{n-k} ldots \ge n-k, ... , leqslant d_{n-k-+ p+1} \ge n-leqslant k </tex>. Если p = 1, то n-k-p+1 = n-k. Отсюда видно, что <tex>\ d_{n-k} Rightarrow d_k \ge n-leqslant k </tex>.

<tex>\ d_{n - k} \geqslant n - k \Leftrightarrow |\{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \}| \geqslant k + 1. </tex>|proof=<tex> \Rightarrow </tex> Пусть :* <tex>d_{n - k} \ (geqslant n - k </tex>,*) <tex> d_{n - k} \leqslant d_{n - k + 1} \leqslant \ldots \leqslant d_n </tex> выполнена для последовательности , * <tex>|\ d_1{ d_{n - k}, d_2d_{n - k + 1}, ... \ldots , d_n \}| = k + 1 </tex>. Пусть <tex>\ d_1 { d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \le d_1' , ... ldots , d_n \le d_n' } \subseteq \{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \} \geqslant k + 1 </tex>.Тогда <tex>\ (*) Leftarrow </tex> выполнена и для :* <tex>|\ d_1'{ v \in VG \mid d_v \geqslant n - k \}| = k + 1 + p, (p \geqslant 0)</tex>, Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней... , <tex> d_n' \geqslant d_{n - 1} \ldots \geqslant d_{n - k} \geqslant \ldots \geqslant d_{n - k - p} \geqslant n - k \Rightarrow d_{n - k} \geqslant n - k </tex>Очевидно.

Если условие импликация <tex>\ (*) </tex> верно верна для некоторой последовательности степеней<tex> d </tex>, то оно верно она верна и для неубывающей последовательности <tex> d' </tex>, мажорирующей ее <tex> d </tex>.|proof=# Если <tex> d'_k > k </tex>, то первый аргумент импликации всегда ложен, следовательно импликация верна вне зависимости от второго аргумента. Значит, в этом случае импликация <tex> (*) </tex> верна для последовательности<tex> d' </tex>.Очевидно# Если <tex> d'_k \leqslant k, \mbox{ } d'_{n - k} \geqslant d_{n - k} \geqslant n - k </tex>, то оба аргумента импликации всегда истинны. Значит, и в этом случае импликация <tex> (*) </tex> верна для последовательности <tex> d' </tex>.Значит, импликация <tex> (*) </tex> выполняется и для последовательности <tex> d' </tex>.

Приведем доказательство от противного. Пусть существует граф с числом вершин <tex> n \geqslant 3 </tex>, удовлетворяющий <tex> (*) </tex>, но негамильтонов.Будем добавлять в него ребра до тех пор, пока не получим максимально возможный негамильтонов граф <tex> G </tex> (то есть добавление еще одного ребра сделает граф <tex> G </tex> гамильтоновым). По лемме о добавлении ребра и лемме №3 импликация <tex> (*) </tex> остается верной для графа <tex> G </tex>.Очевидно, что граф <tex>\ K_n </tex> гамильтонов при <tex> k \geqslant 3 </tex>.Будем считать <tex> G </tex> максимальным негамильтоновым остовным подграфом графа <tex> K_n </tex>. Выберем две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex> графа <tex> G </tex>, такие что <tex> \deg u + \deg v </tex> — максимально.Будем считать, что <tex> \deg u \leqslant \deg v </tex>.Добавив к <tex> G </tex> новое ребро <tex> e = uv </tex>, получим гамильтонов граф <tex> G + e </tex>.Рассмотрим гамильтонов цикл графа <tex> G + e </tex>: в нём обязательно присутствует ребро <tex> e </tex>.Отбрасывая ребро <tex> e </tex>, получим гамильтонову <tex> (u, v) </tex>-цепь в графе <tex> G </tex>: <tex> u = u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow \ldots \rightarrow u_n = v </tex>. Пусть <tex> S = \{i \mid e_i = u_1 u_{Теоремаi + 1} \in EG\}, T = \{ i \mid f_i = u_i u_n \in EG\} </tex>.[[Файл: Hvatal_3.png|330px|thumb|center|about=Множество <tex> S </tex> обозначено красным цветом, множество <tex> T </tex> обозначено синим цветом]] Хватала{{Утверждение

Пусть '''G''' - связный граф, количество вершин которого не меньше 3. Упорядочим степени вершин '''G''' по неубыванию.Если для <tex>S \forall k</tex> верна импликация <tex>(d_k \le k < n/2 cap T = \Rightarrow d_{n-k} \ge n-k) (*) emptyset </tex>,то '''G''' - гамильтонов.

Приведем доказательство от противного.Пусть теорема Хватала не вернаПредположим, есть граф , где что <tex>j \ n in S \ge 3 </tex>, удовлетворяющий условию <tex>\ (*) cap T </tex>, но не гамильтонов.Будем добавлять в него ребра до тех пор, пока не Тогда получим максимально возможный негамильтонов граф '''G'''(т.е. добавление еще одного ребра сделает граф '''G''' гамильтоновым). Добавление ребер не противоречит условию <tex>\ (*) </tex>.Очевидно, что граф <tex>\ K_n </tex> гамильтонов для <tex>\ k \ge 3 </tex>.Будем считать '''G''' максимальным негамильтоновым остовным подграфом цикл графа <tex>\ K_n </tex>.Выберем две несмежные вершины U и V графа '''G''' с условием : <tex>\ degU + degV </tex> - максимально.Будем считать, <tex>\ degU \le degV </tex>.Добавив к '''G''' новое ребро e = UV, получим гамильтонов граф '''G''' + UV.Рассмотрим гамильтонов цикл графа '''G''' + UV : в нем обязательно присутствует ребро UV. <br>Отбрасывая ребро UV, получим гамильтонову (U, V)-цепь в графе '''G''' : <tex>u_1 \ U = U_1 - U_2 - ... - U_n = V </tex>. <br>Пусть <tex>\ S = \xrightarrow{i|e_i = U_1 U_e_j} u_{ij +1} \in E(G)rightarrow \} </tex> <br>Пусть <tex>ldots \ T = rightarrow u_n \xrightarrow{i|f_i = U_i U_n \in E(G)f_j} u_j \rightarrow u_{j - 1} </tex> <br> <tex>\ S rightarrow \cap T = ldots \empty rightarrow u_1 </tex>, иначе в графе '''G''' есть гамильтонов циклчто противоречит условию, что граф негамильтонов.[[Файл: Hvatal_4. Пусть j png|270px|thumb|center|]]Значит, <tex> \in S \cap T </tex>. Тогда получим гамильтонов цикл графа '''G''' : <tex>\ U_1 - U_{j+1} - U_{j+2} - ... - U_n - U_j - U_{j-1} - ... - U_1 </tex> <br> Из определений <tex>\ S </tex> и <tex>\ T </tex> следует, что <tex>\ S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} </tex> , поэтому <tex>\ 2degU Rightarrow 2 \deg u \leqslant \le degU deg u + degV \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| < n </tex>. Значит, т.е. <tex>\ degU deg u < n/2 </tex> <br>. Т.к. Так как <tex>\ S \cap T = \empty emptyset </tex>, ни одна вершина <tex>\ U_j u_j </tex> не смежна с <tex>\ V v = U_n u_n </tex> (для <tex>\ j \in S </tex>). Отсюда в В силу выбора <tex>\ U u </tex> и <tex>\ V v </tex> имеем , получим, что <tex>\ degU_j deg u_j \le degU leqslant \deg u </tex>. Положим Пусть <tex>k = \ k deg u = degU |S| </tex>.Тогда имеется по крайней мере Значит, <tex>\ |S| = degU = exists k </tex> вершин, степень которых не превосходит <tex> k. <br/tex>. В силу леммы(I) выполняется По лемме №1: <tex>\ d_k \le leqslant k < n/2 </tex> <br>По условию . В силу импликации <tex>\ (*) </tex> получаем : <tex>\ d_{n-k} \ge geqslant n-k </tex> <br>. В силу леммы(II) имеется по крайней мере По лемме №2, <tex>\ exists k+1 </tex> вершин, степень которых не меньше <tex>\ n-k </tex> <br>. Так как <tex>\ k = degU \deg u </tex>, то вершина <tex>\ U u </tex> может быть смежна, самое большее, максимум с <tex>\ k </tex> из этих <tex>\ k+1 </tex> вершин. Значит , существует вершина <tex>\ W w </tex>, несмежная не являющаяся смежной с <tex>\ U u </tex>, и для которой <tex>\ degW deg w \ge geqslant n-k </tex>. Но тогда Тогда получим , что <tex>\ degU deg u + degW \ge deg w \geqslant k + (n - k) = n > degU \deg u + degV \deg v </tex>, что противоречит выбору <tex>\ U u </tex> и <tex>\ V v </tex>. <br> Значит, предположение неверно.