Алгоритм Прима

Алгоритм Прима (англ. Prim's algorithm) — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе.

Идея

Данный алгоритм очень похож на алгоритм Дейкстры. Будем последовательно строить поддерево [math]F[/math] ответа в графе [math]G[/math], поддерживая приоритетную очередь [math]Q[/math] из вершин [math]G \setminus F[/math], в которой ключом для вершины [math]v[/math] является [math]\min\limits_{u \in V(F), uv \in E(G)}w(uv)[/math] — вес минимального ребра из вершин [math]F[/math] в вершины [math]G \setminus F[/math]. Также для каждой вершины в очереди будем хранить [math]p(v)[/math] — вершину [math]u[/math], на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево [math]F[/math] поддерживается неявно, и его ребра — это пары [math]\left(v,p(v)\right)[/math], где [math]v \in G \setminus \{r\} \setminus Q[/math], а [math]r[/math] — корень [math]F[/math]. Изначально [math]F[/math] пусто и значения ключей у всех вершин равны [math]+\infty[/math]. Выберём произвольную вершину [math]r[/math] и присвоим её ключу значение [math]0[/math]. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину [math]v[/math] из приоритетной очереди и релаксировать все ребра [math]vu[/math], такие что [math]u \in Q[/math], выполняя при этом операцию [math]\text{decreaseKey}[/math] над очередью и обновление [math]p(v)[/math]. Ребро [math]\left(v,p(v)\right)[/math] при этом добавляется к ответу.

Реализация

// [math]G[/math] — исходный граф
// [math]w[/math] — весовая функция
function [math]\mathtt{primFindMST}():[/math]
   for [math]v \in V(G)[/math]
       [math]\mathtt{key}[v]\ =\ \infty[/math]
       [math]\mathtt{p}[v]\ =[/math] null
   [math]r\ =[/math] произвольная вершина графа [math]G[/math]
   [math]\mathtt{key}[r]\ =\ \mathtt{0}[/math] 
   [math]Q.\mathtt{push}(V(G))[/math] 
   while not [math]Q.\mathtt{isEmpty()}[/math]
       [math]v\ =\ Q.\mathtt{extractMin}()[/math] 
       for [math]vu \in E(G)[/math]
           if [math]u \in Q[/math] and [math]\mathtt{key}[u] \gt  w(v, u)[/math]
               [math]\mathtt{p}[u]\ =\ v[/math]
               [math]\mathtt{key}[u]\ =\ w(v, u)[/math]
               [math]Q.\mathtt{decreaseKey}(u, \mathtt{key}[u])[/math]

Ребра дерева восстанавливаются из его неявного вида после выполнения алгоритма.
Чтобы упростить операцию [math]\mathrm{decreaseKey}[/math] можно написать кучу на основе сбалансированного бинарного дерева поиска. Тогда просто удалим вершину и добавим ее обратно уже с новым ключом. Асимптотика таких преобразований [math]O(\log n)[/math]. Если же делать с бинарной кучей, то вместо операции [math]\mathrm{decreaseKey}[/math], будем всегда просто добавлять вершину с новым ключом, если из кучи достали вершину с ключом, значение которого больше чем у нее уже стоит, просто игнорировать. Вершин в куче будет не больше [math]n^2[/math], следовательно, операция [math]\mathrm{extractMin}[/math] будет выполняться за [math]O(\log n^2)[/math], что равно [math]O(\log n)[/math]. Максимальное количество вершин, которое мы сможем достать, равняется количеству ребер, то есть [math]m[/math], поэтому общая асимптотика составит [math]O(m \log n)[/math], что хорошо только на разреженных графах.

Пример

Рассмотрим работу алгоритма на примере графа. Пусть произвольно выбранная вершина — это вершина a.

Изображение	Множество вершин	Описание
	a b c d e [math] 0 [/math] [math]\infty[/math] [math]\infty[/math] [math]\infty[/math] [math]\infty[/math]	Извлечём из множества вершину a, так как её приоритет минимален. Рассмотрим смежные с ней вершины b, c, и e. Обновим их приоритеты, как веса соответствующих рёбер ab, ac и ae, которые будут добавлены в ответ.
	a b c d e [math] 0 [/math] [math] 3 [/math] [math] 4 [/math] [math]\infty[/math] [math] 1 [/math]	Теперь минимальный приоритет у вершины е. Извлечём её и рассмотрим смежные с ней вершины a, c, и d. Изменим приоритет только у вершины d, так как приоритеты вершин a и с меньше, чем веса у соответствующих рёбер ea и ec, и установим приоритет вершины d равный весу ребра ed, которое будет добавлено в ответ.
	a b c d e [math] 0 [/math] [math] 3 [/math] [math] 4 [/math] [math] 7 [/math] [math] 1 [/math]	После извлечения вершины b ничего не изменится, так как приоритеты вершин a и с меньше, чем веса у соответствующих рёбер ba и bc. Однако, после извлечения следующей вершины — c, будет обновлён приоритет у вершины d на более низкий (равный весу ребра cd) и в ответе ребро ed будет заменено на cd.
	a b c d e [math] 0 [/math] [math] 3 [/math] [math] 4 [/math] [math] 2 [/math] [math] 1 [/math]	Далее будет рассмотрена следующая вершина — d, но ничего не изменится, так как приоритеты вершин e и с меньше, чем веса у соответствующих рёбер de и dc. После этого алгоритм завершит работу, так как в заданном множестве не останется вершин, которые не были бы рассмотрены

Корректность

По поддерживаемым инвариантам после извлечения вершины [math]v\ (v \neq r)[/math] из [math]Q[/math] ребро [math]\left(v,p(v)\right)[/math] является ребром минимального веса, пересекающим разрез [math]\left(F,Q\right)[/math]. Значит, по лемме о безопасном ребре, оно безопасно. Алгоритм построения MST, добавляющий безопасные ребра, причём делающий это ровно [math]|V|-1[/math] раз, корректен.

Оценка производительности

Производительность алгоритма Прима зависит от выбранной реализации приоритетной очереди, как и в алгоритме Дейкстры. Извлечение минимума выполняется [math]V[/math] раз, релаксация — [math]O(E)[/math] раз.

Структура данных для приоритетной очереди	Асимптотика времени работы
Наивная реализация	[math]O(V^2+E)[/math]
Двоичная куча	[math]O(E\log{V})[/math]
Фибоначчиева куча	[math]O(V\log{V}+E)[/math]

См. также

• Алгоритм Краскала
• Алгоритм Борувки

Источники информации

• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — с.653 — 656.— ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
• Википедия — Алгоритм Прима
• Wikipedia — Prim's algorithm
• MAXimal :: algo :: Минимальное остовное дерево. Алгоритм Прима