1632
правки
Изменения
м
|proof= {{TODO|t=Это не доказательство следствия, а просто различные приёмы интегрирования, нужно поменять разметку соответствующим образом}}
1. == Формулы ===== Вычисление определенного интеграла по частям:===
2. === Вычисление определенного интеграла сложной функции:===
В рамках этих обозначений Тогда <tex>\quad \exists \varphi'(t) \Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x = \int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) d t</tex> {{TODO|tproof =далее идет типа доказательство}} Монотонность <tex>\varphi</tex> не требуется. Это связано с тем, что мы вычисляем определённый интеграл, то есть число.<!--(число{{TODO|t=что за бреееед????}}).Все нормально-->
Пусть выполняются все условия для этой формулы.({{TODO|t=что за бреееед????}}) Как правило, в этих формулах считается, что все функции непрерывны.
rollbackEdits.php mass rollback
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0</tex> при <tex>|x - x_0| < \delta </tex> в силу непрерывности в точке <tex>x_0</tex> выполняется <tex>f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon</tex>
Рассмотрим <tex> |\Delta x| < \delta </tex>. По первому утверждению получаем <tex>\forall |\Delta x| < \delta, \Delta x > 0: \quad f(x_0) - \varepsilon \leqslant \frac1{\Delta x} \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f \leqslant f(x_0) + \varepsilon </tex>
Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к <tex>\to 0</tex>, получаем <tex>\frac{\Delta F(x_0, \Delta x)}{\Delta x} \to f(x_0)</tex>
}}
==== Следствие Важное следствие ====
{{Утверждение
|id = barrou_sl
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.
<tex>F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x) dx</tex>
|proof=
Так как <tex>f</tex> {{---}} интегрируема, то <tex>\forall \tau \ \int\limits_a^b f = </tex> (равен пределу интегральных сумм)при любой системе промежуточных точек для <tex>\tau</tex>.
Поэтому, если <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, то
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} F(x_{k + 1}) - F(x_k)</tex>. Так как <tex>F</tex> дифференцируема, то в каждой скобке применим , применив для каждого промежутка из разбиения формулу Лагранжа, получим:
<tex>F(x_{k + 1}) - F(x_k) = F'(\bar x_k) \Delta x_k = f(\bar x_k) \Delta x</tex>
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(\bar x_k) \Delta x_k = \sigma (f, \tau)</tex>
<tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая {{---}} постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.
}}
=== Следствие ===
Объединяя эту теорему со [[#barrou_sl|следствием]] к теореме Барроу получаем следующий факт:
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, <tex>F</tex> {{---}} одна из первообразных.
Тогда <tex>\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</tex>
<tex>\int\limits_a^b u(x) d v(x) = uv|_a^b - \int\limits_a^b v(x) d u(x)</tex>
{{Утверждение
|id = formula2
|statement=
Пусть
<tex>\varphi(t) \in [a; b]</tex>, <tex>b = \varphi(t_2)</tex>, <tex>a = \varphi(t_1)</tex>
<tex>f</tex> {{---}} непрерывнана <tex>[a,b]</tex>. Значит, <tex>\exists F: \ F' = f</tex>
По формуле Ньютона-Лейбница, <tex>\int\limits_a^b f = F(b) - F(a)</tex>.
<tex>G'(t) = F'(x) \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)</tex>
<tex>\int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = </tex> <tex>G(t_2) - G(t_1) =</tex> <tex>F(\varphi(t_2)) - F(\varphi(t_1)) = </tex> <tex>F(b) - F(a)</tex>
У интересующих интегралов правые части совпали, значит, интегралы равны.
}}
