Изменения

[[Марковская цепь#Поглощающая цепь| Поглощающее(существенное) состояние цепи Маркова - ]] — состояние с вероятностью перехода в самого себя <tex>p_{ii}=1</tex>. Составим матрицу <tex>\mathtt{G}</tex>, элементы которой <tex>g_{ij}</tex> равны вероятности того, что, выйдя из <tex>i</tex>, попадём в поглощающее состояние <tex>j</tex>.

<tex> \mathtt{G } = N \cdot R </tex>, где <tex>N</tex> — фундаментальная матрица, и <tex>R</tex> — матрица перехода из несущественных состояний в существенные.

Пусть этот переход будет осуществлён за <tex>r </tex> шагов: <tex>i </tex> &rarr; <tex>i_{1}</tex> &rarr; <tex>i_{2}</tex> &rarr; ... <tex>\ldots</tex> &rarr; <tex>i_{r-1}</tex> &rarr; j, где все <tex>i, i_{1}, ... \ldots i_{r-1}</tex> являются несущественными.Тогда рассмотрим сумму <tex>\sum\limits_{\forall(i_{1} ... \ldots i_{r-1})} {p_{i, i_{1}} \cdot p_{i_{1}, i_{2}} \cdot ... \ldots \cdot p_{i_{r-1}, j}} = Q^{r-1} \cdot R</tex>, где <tex>Q - </tex> — матрица переходов между несущественными состояниями, <tex>R - </tex> — из несущественного в существенное. Матрица <tex>\mathtt{G }</tex> определяется их суммированием по всем длинам пути из i в j: <tex>\mathtt{G } = \sum\limits_{r = 1}^{\infty}{Q^{r-1} \cdot R} = (I + Q + Q^{2} + Q^{3} + ...\ldots) \cdot R = NR</tex>, т.к. <tex>(I + Q + Q^2 + ...\ldots) \cdot (I - Q) = I - Q + Q - Q^{2} + ... \ldots = I</tex>, а фундаментальная матрица марковской цепи <tex>N = (I - Q)^{-1}</tex> }}==Псевдокод==Выведем ответ: в <tex>n\mathtt{i}</tex> - количество состояний Марковской цепи, ой строке вероятность поглощения в <tex>m\mathtt{i}</tex> - количество переходовом состоянии. Состояния пронумерованы от Естественно, для несущественного состояния это <tex>0</tex> до , в ином случае <tex>\mathtt{p_i}=\left(\sum\limits_{k=1}^{n - } \mathtt{G}[k][j]+1\right)/n</tex>, переходы от где <tex>0\mathtt{j}</tex> до — номер соответствующий <tex>m - 1\mathtt{i}</tex>. Пусть входные данные хранятся -ому состоянию в массиве матрице <tex>input\mathtt{G}</tex> где (т.е. под которым оно располагалось в матрице <tex>i\mathtt{R} </tex>-ая строка характеризует т.е. значение <tex>\mathtt{position}[\mathtt{i}]</tex>-ый переход таким образом: ). Прибавлять <tex>input[i][2]1</tex> - нужно т.к. вероятность перехода из состояния поглотиться в <tex>input[\mathtt{i][0]}</tex> -ом поглощающем состоянии, оказавшись изначально в состояние нем же равна <tex>input[i][1]</tex>.Создадим массив *<tex>absorbing\mathtt{probability}[\mathtt{i}]</tex> типа boolean, где — вероятность поглощения в <tex>\mathtt{i}</tex>-ое true обозначает что ом состоянии*<tex>\mathtt{absorbing}[\mathtt{i}]</tex>-ое состояние — является поглощающим и наоборот. Обнаружим поглощающие состояния по такому признаку: если состояние поглощающее то с вероятностью 1 оно переходит само в себя. Также посчитаем количество поглощающих состояний ли <tex>abs\mathtt{i}</tex>_<tex>num</tex>.<code style = "display: inline-block;">е состояние поглощающим for i=0 to n-1 if input '''float[i]''' getAbsorbingProbability(absorbing: '''boolean'''[0n] == input, G: '''float'''[in][1n] and input, position: '''int'''[in][2] == 1): absorbing '''float''' probability[input[i][0n]] = true; abs_num++; </code>Найдем число несущественных состояний <tex>nonabs=n-abs</tex>_<tex>num</tex>. Теперь нужно заполнить массивы <tex>Q</tex> (переходов между несущественными состояниями) и <tex>R</tex> (переходов из несущественных состояний в поглощающие). Для этого создадим сначала массив <tex>position</tex> где <tex>i</tex>-ый элемент указывает под каким номером будет находиться <tex>i</tex>-ое состояние среди существенных если оно существенное или несущественных в обратном случае, и заполним эти массивы.<code style = "display: inline-block;"> count_q = 0; count_r = 0; '''for ''' i = 0 '''to ''' n - 1 if abs[i] position[i] '''float''' prob = count_r;0 count_r++; else position '''if''' absorbing[i] = count_q; count_q++; '''for i ''' j = 0 '''to m ''' nonabs - 1 if absorbing prob += G[input[ij][1]] if absabsorbing[inputposition[i][0]] R[position[input[i][0]]][position[input prob++ prob /= n probability[i][1]]] = input[i][2];prob else'''return''' probability  Q[position[input[i][0]]][position[input[i][1]]] = input[i][2];</code>Найдем Матрицу <tex>E = I - Q</tex> и создадим единичную матрицу <tex>N</tex>См.<code style также= "display: inline-block;"> for i=0 to nonabs N*[[iМарковская цепь][i]=1;' E*[[iПодсчет количества поглощающих состояний и построение матриц переходов марковской цепи][i]=1; for j=0 to nonabs E*[i][jФундаментальная матрица]-=Q[i][j]; </code>Теперь приведем матрицу <tex>E</tex> к единичной методом Гаусса - Жордана, применяя те же преобразования к матрице <tex>N</tex>.<code style = "display: inline-block;"> for i = 0 to nonabs if E*[i][i] != 1 mul = E[iТеорема о поглощении][i]; for j = 0 to nonabs E*[i][j] /= mul; N[iМатематическое ожидание времени поглощения][j] /= mul; for row = 0 to nonabs if i != row mul = E[row][i]; for j Источники информации= 0 to nonabs E[row][j] -= mul * E[i][j]; N[row][j] -= mul * N[i][j];<http:/code>В результате <tex>N=E^{-1}</tex> тru.еwikipedia. <tex>N<org/tex> - фундаментальная матрица Марковской цепи. Найдем матрицу <tex>G = N * R<wiki/tex>%D0%A6%D0%B5%D0%BF%D1%8C_%28%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC.<code style = "display: inline-block;"> for i = 0 to nonabs for j = 0 to absorbing G[i%29 Википедия — Цепи Маркова][j] = 0; for k = 0 to nonabs G[i][j] += N[i][k] * R[k][j];</code>Выведем ответhttp: В <tex>i</tex>-ой строке вероятность поглощения в <tex>i</tex>-ом состоянииwww.studmed. Естественно для несущественного состояния это 0, в ином случае <tex>p=(($$\sum_{k=1}^n G[k][j]$$)+1)ru/n</tex> где j kemeni-dzh-snell-dzh-konechnye-cepi- номер соответствующий состоянию в <tex>G</tex>markova_eb290d9f6f2. Прибавлять 1 нужно тhtml Кемени Дж.ки Снелл Дж. вероятность поглотиться в <tex>i</tex>-ом поглощающем состоянии, оказавшись изначально в нем же равна 1.<code style = "display: inline-block;Конечные цепи Маркова"> for i = 0 to n prob = 0; if absorbing[i] for j = 0 to nonabs prob += G[j][position[i]]; prob++; prob /= n; println(prob);</code>