1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \mathcal {g}</tex>}}<!---ну хз кто догадался так записать, я исправляю такое без разрешения.)))--->
Другими словами, замыкание множества <tex> A </tex> {{---}} это все элементы из <tex> A, </tex> а также такие <tex> x \in X, </tex> которые при добавлении к некоторым независимым подмножествам <tex> A </tex> не оставляют их независимыми.
Если <tex>q \in B,</tex> то <tex>(H \cup q) \subseteq A,\ </tex> но <tex> (H \cup q) \cup p \notin I </tex> в силу <tex> H \cup p \notin I </tex> (противоречие с максимальностью множества <tex>H</tex>). Если <tex>q = p,</tex> то <tex>(H \cup p) \in I</tex> (противоречит выбору множества <tex>H</tex>).
}}
{{Определение
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = \{ x \in X \; |\; r(A \cup x) = r(A) \}</tex>, где <tex>r: 2^X \to \mathbb{N}</tex> - [[Ранговая_функция,_полумодулярность|ранговая функция]]
}}
{{Лемма
|statement = Данное определение эквивалентно предыдущему
|proof =
Пусть <tex>\langle A \rangle_1</tex> {{---}} замыкание <tex>A</tex> в смысле первого определения, <tex>\langle A \rangle_2</tex> {{---}} замыкание <tex>A</tex> в смысле второго определения.<br>
Покажем, что <tex>\langle A \rangle_1 = \langle A \rangle_2</tex>
# <tex>\langle A \rangle_1 \subseteq \langle A \rangle_2</tex> <br> По предыдущей лемме, <tex>r(A) = r(\langle A \rangle_1)</tex>, а значит, <tex>\forall a \in \langle A \rangle_1 : r(A \cup a) = r(A)</tex>, а значит, <tex>a \in \langle A \rangle_2</tex>. <br> В силу произвольности <tex>a</tex>, <tex>\langle A \rangle_1 \subseteq \langle A \rangle_2</tex>.
# <tex>\langle A \rangle_2 \subseteq \langle A \rangle_1</tex> <br> Рассмотрим <tex>a \in \langle A \rangle_2 : r(A \cup a) = r(A)</tex>. Возьмем <tex>B \subseteq A, \; B \in I</tex> {{---}} наибольшее независимое подмножество <tex>A</tex>. Тогда <tex>B \cup a \notin I</tex>, так как иначе <tex>r(A \cup e) = |B \cup e| > |B| = r(A)</tex>. <br> Следовательно, <tex>b \in \langle A \rangle_1</tex>, и в силу произвольности <tex>b</tex>, <tex>\langle A \rangle_2 \subseteq \langle A \rangle_1</tex>
}}
# <tex>A \subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle</tex>
# <tex>q \notin \langle A \rangle,\; q \in \langle A \cup p \rangle \Rightarrow p \in \langle A \cup q \rangle</tex>
# <tex>e \in \langle A \rangle \Rightarrow \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex>
# <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle </tex>
|proof =
# Положим <tex>x \in \langle A \rangle.</tex> В соответствии с первым определением оператора замыкания есть 2 случая:
#* <tex> x \in A. </tex> Тогда <tex> x \in B </tex>, и следовательно <tex> x \in \langle B \rangle. </tex>
#* <tex>\exists H \subseteq A :\ H \in I,\ H \cup x \notin I.</tex> Для такого <tex> H </tex> также верно <tex>H \subseteq B,</tex> потому <tex>x \in \langle B \rangle.</tex>
#*: <tex> H' \cup q \in I </tex>, в противном случае в силу <tex> H' \in I </tex> было бы <tex> q \in \langle A \rangle. </tex>
#*: Как видим, множество <tex> H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup q \rangle. </tex>
# Из определения понятноПо первому свойству очевидно, что <tex> \langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle</tex>. Докажем обратное: <tex>\langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle </tex>. Предположим <br>Воспользуемся вторым определением оператора замыкания. Рассмотрим <tex>\exists p f \in \langle A \cup e \langle rangle</tex>. По [[Ранговая_функция,_полумодулярность|полумодулярности ранговой функции]] имеем: <br><tex>r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (A \cup f)) \geqslant r(A \rangle cup e \cup f) + r(A)</tex>.<br>Но <tex>r(A \rangle cup e) = r(A)</tex> (так как <tex>e \setminus in \langle A \rangle.</tex> Возьмем максимальное по мощности множество ), значит, <tex>B r(A \cup f) \in I :geqslant r(A \ B cup e \subseteq cup f)</tex>, что в свою очередь влечет <tex>r(A \cup f) = r(A\cup e \cup f)</tex>.<br>Но так как <tex>f \in \langle A \cup e \rangle</tex> Так как и <tex>p e \notin in \langle A \rangle</tex>,то имеем <tex>r(A) = r(A \cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f)</tex> то .<br>Следовательно, по определению замыкания , <tex>f \in \langle A \rangle</tex>. <br>В силу произвольности <tex>B f: \langle A \cup p e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.# Следует из третьего свойства: <tex>\forall e \in I.\langle A \rangle : \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex> Тогда, последовательно применив вышеуказанную лемму, дважды [[Ранговая функция, полумодулярность | определение ранга]] и снова леммуа значит, получим <tex>r(\langle \langle A \rangle) \rangle = r(\langle A \cup \langle A \rangle \rangle) = \langle A \cup e_1 \cup e_2 \geqslant |B cup e_3 \cup p| \ldots \rangle = r(\langle A) + 1 = r\rangle</tex> (где <tex>e_1, e_2, \ldots \in \langle A \rangle) + 1,</tex> что невозможно.)
}}
== Смотри также ==
* [[Покрытия, закрытые множества]]
* [[Двойственный матроид]]
== Источники информации ==
* [[wikipedia:ru:Матроид#Определение в терминах правильного замыкания | Википедия {{---}} Матроид]]
* [http://dictionary.sensagent.com/Matroid/en-en/ sensagent.com {{---}} Matroid]
* [http://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec11.pdf Michel X. Goemans: Advanced Combinatorial Optimization, Lecture 11: Matroid Intersection]
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]
