Изменения

{{Определение|id=knuth_counter|definition= '''Счетчик Кнута''' (англ. ''Сounter Knuth's Counter'') {{--- }} структура данных, представленная избыточной двоичной системой счисления, где в которой добавление единицы к любому разряду числу и вычитание единицы выполняется за <tex>O(1)</tex>.}}

''Избыточная двоичная система счисления'' - двоичная система счисления, где кроме 0 и 1 допустима 2 в записи числа.{{Определение|id=knuth_counter|definition= Алгоритм ==Имеется Неотрицательное целое число записанное <tex>N</tex> в '''избыточной двоичной системе счисления, необходимо добавить 1 к какому-либо разряду. Будем поддерживать следующий инвариант: в следующем старшем за любой двойкой разряде всегда стоит 0.* Начало.* '''Шаг 1а'''. Если 1 нужно добавить к 2, то записывается в текущем разряде установить виде последовательности разрядов <tex>(d_n d_{n-1} \dotsc d_2 d_1)</tex>, где <tex>n</tex> обозначает количество разрядов в следующем 1.* '''Шаг 1б'''. Если 1 нужно добавить к 1 и в следующем разряде 0числе, то в текущем разряде установить 2.* '''Шаг 1в'''. Если 1 нужно добавить к 1 и в следующем разряде <tex>d_i</tex> {{---}} <tex>i</tex>&ndash;й разряд числа <tex>(1\leqslant i \leqslant n)</tex>, то в текущем разряде установить причем <tex>d_i \in \{0, повторить алгоритм для следующего разряда.* '''Шаг 1г'''. Если 1 нужно добавить к 1 и в следующем разряде 2, то в следующем за двойкой разряде установить 1, в разряде с двойкой установить 1, в текущем установить 0.* '''Шаг 1д'''. Если 1 нужно добавить к 0 и в предыдущем разряде 2, в следующем 0, то в предыдущем разряде установить 0, в текущем 2.* '''Шаг 1е'''. Если 1 нужно добавить к 0 \}</tex> и в предыдущем разряде 2, в следующем <tex>\sum\limits_{i=1, то в предыдущем разряде установить 0, повторить алгоритм для следующего разряда.* '''Шаг 1ж'''. Если 1 нужно добавить к 0 и в предыдущем разряде }^n d_i \cdot 2, в следующем 2, то в предыдущем разряде установить 0, повторить алгоритм для следующего разряда.* '''Шаг 1з'''. Если 1 нужно добавить к 0 и в предыдущем разряде не 2, установить в текущем разряде ^{i-1} = N.* Конец.</tex>== Доказательство ==Покажем, что инвариант не нарушится.}}

Инвариант можно нарушить в 2 случаях, когда к единице прибавляют 1Заметим, и что в следующем разряде стоит не 0, и когда к нулю прибавляется 1этой системе представление числа неоднозначно, а в предыдущем разряде стоит 2например представление <tex>212</tex> эквивалентно <tex>1100</tex>.

а) # Найти младший разряд <tex>d_i</tex> равный <tex>2</tex> и, если таковой имеется, заменить последовательность <tex>002_(\dotsc d_{2i+1} d_i \Rightarrow 0011_dotsc)</tex> на <tex>(\dotsc (d_{2i+1}+1)0 \dotsc)</tex># Заменить <tex>d_1</tex> на <tex>d_1+1</tex>.

в) # Если <tex>0011_d_{2} \Rightarrow 0001_{2i+1}=1</tex>, то заменить первый элемент списка с <tex>i</tex> на <tex>i+1</tex>, иначе удалить его.# Если <tex>d_1=1</tex> повторение алгоритма для 4 разряда, по варианту б то добавить в начало списка <tex>0001_{2} \Rightarrow 0002_{2}1</tex>.

е) <tex>0201_{2} (\dotsc 22\dotsc) \Rightarrow 0001_overset{2Inc}</tex> повторение алгоритма для 4 разряда, по варианту б <tex>0001_{2\longmapsto} (\Rightarrow 0002_{2}dotsc 30\dotsc)</tex>.

з) <tex>010_(\dotsc 212\dotsc) \overset{2Inc} {\Rightarrow 011_{2longmapsto}(\dotsc 220\dotsc)</tex>

== Амортизационная оценка алгоритма ==Причем количество единиц между двойками может быть любое, в итоге это приведет к появлению тройки.Воспользуемся методом предоплатыОднако если между любой парой двоек всегда будет находиться хотя бы один<tex>0</tex>, будем считатьто такой ситуации не возникнет. Покажем, что каждый раз когда мы начинаем выполнять алгоритм мы берем этот инвариантподдерживается после инкремента, рассмотрев возможные ситуации:: Число двоек не изменяется:: <tex>(\dotsc 2 монетки\dotsc 0\dotsc 12\dotsc 0) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 20\dotsc 1)</tex>.:: <tex>(\dotsc 02\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 10\dotsc 2)</tex>.:: <tex>(\dotsc 2\dotsc 02\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 10\dotsc 2)</tex> (частный случай предыдущего).:: <tex>(\dotsc 12) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 21)</tex>. Одна будет тратится на изменение текущего разряда и : Пропадает одна запасатьсядвойка:: <tex>(\dotsc 02\dotsc 0) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 10\dotsc 1)</tex>. Таким образом если :: <tex>(\dotsc 02) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 11)</tex>.: Появление новой двойки:: <tex>(\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2)</tex> (имеется в разряде стоит виду появление единственной двойки).:: <tex>(\dotsc 12\dotsc 1, то для него запасена ) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 20\dotsc 2)</tex>.:: <tex>(\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 12\dotsc 1 монетка, если стоит ) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2, то запасено \dotsc 0\dotsc 20\dotsc 2 монетки. Проверим все варианты)</tex> (частный случай предыдущего).

а) Так как в текущем разряде было 2Таким образом мы видим, то уже запасено 2 монеты, а так же согласно инварианту после 2 стоит что <tex>0, тогда возьмем одну из запасенных у двойки монет и потратим их на присвоение следующему разряду 1, вторую запасенную передадим этой единице. Одну из наших монет потратим на установку в текущий разряд 1, вторую запасем для это единицы</tex> всегда сохраняется.

в) Так В таблице можно увидеть как в текущем разряде было 1, то прибавив наши монеты будет изменяться представление при применении данных правил десять раз к запасенной получим 3. Одну потратим, что бы установить нулю (представления чисел от <tex>0, оставшиеся 2 потратим на повторение алгоритма для следующего разряда.</tex> до <tex>9</tex>):

г) Так как в текущем разряде было {| class="wikitable"|-! Шаг! Представление|-| 0 | 0|-| 1, в следующем | 1|-| 2, то уже запасено 3 монеты и еще | 2 наши, тогда |-| 3 монеты потратим, что бы следующему за 2 разряду установить 1, разряду с 2 установить 1, текущему установить 0, останется 2 монеты, которые распределятся между двумя единицами.| 11|-| 4 | 12|-| 5 | 21|-| 6 | 102|-| 7 | 111|-| 8 | 112|-| 9 | 121|}

д) Так как в текущем разряде было 0, в предыдущем разряде 2, в следующем 0, то уже запасено 2 монеты, одну потратим == Обобщение на изменение предыдущего разряда, одну на изменение текущего разряда, наши две монеты запасем для двойки в текущем разряде.системы с произвольным основанием ==

е{{Определение|id=b_ary_rr|definition=В общем случае подобное представление называется '''<tex>b</tex>-ричным избыточным представлением''' ('''ИП''', англ. ''b-ary redundant representation'') Так как в текущем разряде было 0, которое похоже на представление в предыдущем разряде 2счетчике Кнута, в следующем 1но основание системы может быть произвольным, то уже запасено 3 монетыесть <tex>d_i \in \{0, одну потратим на изменение предыдущего разряда1, одну сохраним с единицей\dotsc , наши две монеты потратим на повторение алгоритма на следующем разрядеb\}</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^n d_i \cdot b^i = N</tex>, останется одна лишняя монетагде <tex>b</tex> {{---}} основание.Оно позволяет прибавить единицу к любому разряду, то есть увеличить число на <tex>b^i</tex> за <tex>O(1)</tex>}}

ж{{Определение|id=regular_rr|definition= Назовем представление '''регулярным''' (англ. ''regular'') Так как в текущем разряде было 0, в предыдущем разряде 2, в следующем 2, то уже запасено 4 монеты, одну потратим на изменение предыдущего разряда, две сохраним с двойкой, наши две монеты потратим на повторение алгоритма на следующем разряде, останется одна лишняя монетаесли между двумя разрядами равными <tex>b</tex> есть хотя бы один разряд отличный от <tex>b-1</tex>.}}

з{{Определение|id=fixup|definition= Операция '''исправления''' (англ. ''fix'') Одну из монет потратим разряда <tex>d_i=b</tex> в регулярном ИП увеличивает <tex>d_{i+1}</tex> на изменение разряда<tex>1</tex> и устанавливает <tex>d_i</tex> в <tex>0</tex>, образуя новое регулярное ИП, представляющее то же число, оставшуюся запасем с единицейчто и <tex>d</tex>.}}

Получается 2 монет достаточно для прибавления Чтобы добавить <tex>1 </tex> к любому разряду<tex>d_i</tex> регулярного ИП <tex>d</tex>,нужно выполнить следующие действия:# Если <tex>d_i=b</tex>, исправить <tex>d_i</tex>.# Если <tex>d_i=b-1</tex> и самый младший значащий разряд <tex>d_j</tex>, тогда наш алгоритм работает в среднем за такой, что <tex>Oj>i</tex> и <tex>d_j \ne b-1</tex>, равен <tex>b</tex> (т.е. <tex>d_j=b</tex>), применить операцию исправления к разряду <tex>d_j</tex>.# Добавить <tex>1)</tex>к <tex>d_i</tex>.# Если <tex>d_i=b</tex>, исправить <tex>d_i</tex>.

Для реализации данной схемы мы используем односвязный список разрядов от младшихк старшим. В дополнение каждый разряд <tex>d_i</tex> равный <tex>b-1</tex>будет иметь указатель на самый младший разряд <tex>d_j</tex>, такой,что <tex>j>i</tex> и <tex>d_j \ne b-1</tex>, если он равен <tex>b</tex>,иначе этот указатель будет на произвольный разряд <tex>d_j</tex> (<tex>j>i</tex>).Теперь во время увеличения разряда <tex>d_i</tex> на <tex>1</tex> будем проверятьразряд по указателю вперед (п. 2). Такое представление позволяет увеличивать произвольный разряд на единицу за константноевремя. Обновление указателя вперед происходит следующим образом: когда <tex>d_{i+}</tex> становится равен <tex>b-1</tex> при исправлении разряда <tex>d_{i-1}</tex>, устанавливаем указатель вперед разряда <tex>d_{i}</tex> на <tex>d_{i+1}</tex>, если <tex>d_{i+1}=b</tex>, либо копируем указатель вперед из <tex>d_{i+1}</tex> в <tex>d_{i}</tex>, если <tex>d_{i+1}= Смотри b-1</tex>.При собственно добавлении единицы к разряду <tex>d_i</tex>, также необходимо обновлять его указатель вперед аналогичным образом,если этот разряд становится равен <tex>b-1</tex>. == См. также ==

* [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|Представление целых чисел]] == Источники информации ==* H. Kaplan и R. E. Tarjan. New heap data structures. 1998* M. J. Clancy и D. E. Knuth. A programming and problem-solving seminar. Technical Report STAN-CS-77-606, Department of Computer Sciencr, Stanford University, Palo Alto, 1977.* G. S. Brodal. Worst case priority queues. ''Proc. 7th annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 96)'', страницы 52-58. ACM Press, 1996.* H. Kaplan и R. E. Tarjan. Purely functional representations of catenable sorted lists. ''Proceedings of the 28th Annual ACM Symposium of Computing'', страницы 202-211. ACM Press, 1996* [http://www.cphstl.dk/Paper/Numeral-systems/mfcs-13.pdf In-Place Binary Counter]