Счётчик Кнута

Определение:

Счетчик Кнута (англ. Knuth's Counter) — структура данных, представленная избыточной двоичной системой счисления, в которой добавление единицы к числу и вычитание единицы выполняется за [math]O(1)[/math].

Определение:

Неотрицательное целое число [math]N[/math] в избыточной двоичной системе счисления записывается в виде последовательности разрядов [math](d_n d_{n-1} \dotsc d_2 d_1)[/math], где [math]n[/math] обозначает количество разрядов в числе, [math]d_i[/math] — [math]i[/math]–й разряд числа [math](1 \leqslant i \leqslant n)[/math], причем [math]d_i \in \{0,1,2\}[/math] и [math]\sum\limits_{i=1}^n d_i \cdot 2^{i-1} = N. [/math]

Заметим, что в этой системе представление числа неоднозначно, например представление [math]212[/math] эквивалентно [math]1100[/math].

Счетчик Кнута

Описание операции инкремента

Оригинальный метод предложен Кнутом и состоит из двух действий:

1. Найти младший разряд [math]d_i[/math] равный [math]2[/math] и, если таковой имеется, заменить последовательность [math](\dotsc d_{i+1}d_i \dotsc)[/math] на [math](\dotsc (d_{i+1}+1)0 \dotsc)[/math]
2. Заменить [math]d_1[/math] на [math]d_1+1[/math].

Чтобы достичь необходимой оценки и не выполнять каждый раз поиск для первого правила, можно хранить односвязный список позиций двоек в числе. Тогда, чтобы найти младший разряд равный двум, нужно просто взять первый элемент списка. Также, непосредственно перед изменением значений разрядов, необходимо выполнять следующие дополнительные действия:

1. Если [math]d_{i+1}=1[/math], то заменить первый элемент списка с [math]i[/math] на [math]i+1[/math], иначе удалить его.
2. Если [math]d_1=1[/math], то добавить в начало списка [math]1[/math].

Инвариант с нулем

Проблемой может оказаться появление двух последовательных двоек, при этом первое правило может породить тройку. То есть недопустима следующая ситуация:

[math](\dotsc 22\dotsc) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 30\dotsc)[/math].

В свою очередь такая ситуация получается из этой:

[math](\dotsc 212\dotsc) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 220\dotsc)[/math]

Причем количество единиц между двойками может быть любое, в итоге это приведет к появлению тройки. Однако если между любой парой двоек всегда будет находиться хотя бы один [math]0[/math], то такой ситуации не возникнет. Покажем, что этот инвариант поддерживается после инкремента, рассмотрев возможные ситуации:

Число двоек не изменяется

[math](\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 12\dotsc 0) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 20\dotsc 1)[/math].

[math](\dotsc 02\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 10\dotsc 2)[/math].

[math](\dotsc 2\dotsc 02\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 10\dotsc 2)[/math] (частный случай предыдущего).

[math](\dotsc 12) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 21)[/math].

Пропадает одна двойка

[math](\dotsc 02\dotsc 0) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 10\dotsc 1)[/math].

[math](\dotsc 02) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 11)[/math].

Появление новой двойки

[math](\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2)[/math] (имеется в виду появление единственной двойки).

[math](\dotsc 12\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 20\dotsc 2)[/math].

[math](\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 12\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 20\dotsc 2)[/math] (частный случай предыдущего).

Таким образом мы видим, что [math]0[/math] всегда сохраняется.

Пример

В таблице можно увидеть как будет изменяться представление при применении данных правил десять раз к нулю (представления чисел от [math]0[/math] до [math]9[/math]):

Шаг	Представление
0	0
1	1
2	2
3	11
4	12
5	21
6	102
7	111
8	112
9	121

Обобщение на системы с произвольным основанием

Определение:

В общем случае подобное представление называется [math]b[/math]-ричным избыточным представлением (ИП, англ. b-ary redundant representation), которое похоже на представление в счетчике Кнута, но основание системы может быть произвольным, то есть [math]d_i \in \{0,1,\dotsc ,b\}[/math] и [math]\sum\limits_{i=1}^n d_i \cdot b^i = N[/math], где [math]b[/math] — основание. Оно позволяет прибавить единицу к любому разряду, то есть увеличить число на [math]b^i[/math] за [math]O(1)[/math]

Определение:

Назовем представление регулярным (англ. regular), если между двумя разрядами равными [math]b[/math] есть хотя бы один разряд отличный от [math]b-1[/math].

Определение:

Операция исправления (англ. fix) разряда [math]d_i=b[/math] в регулярном ИП увеличивает [math]d_{i+1}[/math] на [math]1[/math] и устанавливает [math]d_i[/math] в [math]0[/math], образуя новое регулярное ИП, представляющее то же число, что и [math]d[/math].

Чтобы добавить [math]1[/math] к разряду [math]d_i[/math] регулярного ИП [math]d[/math], нужно выполнить следующие действия:

1. Если [math]d_i=b[/math], исправить [math]d_i[/math].
2. Если [math]d_i=b-1[/math] и самый младший значащий разряд [math]d_j[/math], такой, что [math]j\gt i[/math] и [math]d_j \ne b-1[/math], равен [math]b[/math] (т.е. [math]d_j=b[/math]), применить операцию исправления к разряду [math]d_j[/math].
3. Добавить [math]1[/math] к [math]d_i[/math].
4. Если [math]d_i=b[/math], исправить [math]d_i[/math].

Для реализации данной схемы мы используем односвязный список разрядов от младших к старшим. В дополнение каждый разряд [math]d_i[/math] равный [math]b-1[/math] будет иметь указатель на самый младший разряд [math]d_j[/math], такой, что [math]j\gt i[/math] и [math]d_j \ne b-1[/math], если он равен [math]b[/math], иначе этот указатель будет на произвольный разряд [math]d_j[/math] ([math]j\gt i[/math]). Теперь во время увеличения разряда [math]d_i[/math] на [math]1[/math] будем проверять разряд по указателю вперед (п. 2).

Такое представление позволяет увеличивать произвольный разряд на единицу за константное время. Обновление указателя вперед происходит следующим образом: когда [math]d_{i+}[/math] становится равен [math]b-1[/math] при исправлении разряда [math]d_{i-1}[/math], устанавливаем указатель вперед разряда [math]d_{i}[/math] на [math]d_{i+1}[/math], если [math]d_{i+1}=b[/math], либо копируем указатель вперед из [math]d_{i+1}[/math] в [math]d_{i}[/math], если [math]d_{i+1}=b-1[/math]. При собственно добавлении единицы к разряду [math]d_i[/math], также необходимо обновлять его указатель вперед аналогичным образом, если этот разряд становится равен [math]b-1[/math].

См. также

• Амортизационный анализ
• Представление целых чисел

Источники информации

• H. Kaplan и R. E. Tarjan. New heap data structures. 1998
• M. J. Clancy и D. E. Knuth. A programming and problem-solving seminar. Technical Report STAN-CS-77-606, Department of Computer Sciencr, Stanford University, Palo Alto, 1977.
• G. S. Brodal. Worst case priority queues. Proc. 7th annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 96), страницы 52-58. ACM Press, 1996.
• H. Kaplan и R. E. Tarjan. Purely functional representations of catenable sorted lists. Proceedings of the 28th Annual ACM Symposium of Computing, страницы 202-211. ACM Press, 1996
• In-Place Binary Counter